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Suono e tono della Campana individuale
AREA I - ARTE TECNICO-SCIENTIFICA (ATS)
Cap. ATS-J02 - Acustica della Campana - Pag. ATS-J02.04
Gli argomenti trattati sono stati inseriti da Ing. Arch. Michele Cuzzoni nel 2008 - © Copyright 2007- 2024 - e sono desunti dalla documentazione indicata in Bibliografia a fondo pagina
Esperimento: Qualità Acustiche di una Campana
A corredo di quanto
spiegato nelle pagine
J02.03 -
Classificazione dei parziali di una campana e
J05.01 - Esempio
di Analisi tonale di un concerto di 5 campane, ripresentiamo la pagina che tratta dell'Analisi delle
qualità acustiche di una campana (monografia dei Professori
Universitari di Padova: G. Meneghetti, R. Marogna, B. Rossi), che tratta degli
stessi argomenti tecnico-scientifici attraverso un esperimento pratico.
Sebbene l’arte campanaria in Occidente vanti una storia millenaria, solo negli ultimi due secoli si è raggiunta una conoscenza approfondita dell’acustica campanaria.
L’analisi spettrale del suono rivela nella campana la presenza di un grande numero di componenti (parziali), ciascuna associata ad un diverso modo di vibrazione. Si possono individuare, tra queste, alcune parziali principali che vanno a concorrere in modo determinante al suono e all’intonazione.
Si illustrano le analisi acustiche ed accelerometriche effettuate su una campana fornita dalla Fonderia Pontificia Colbachini, quindi è presentato e discusso il confronto con l’analisi modale agli elementi finiti.
Parole chiave: campana, acustica, analisi modale.
La campana rappresenta un oggetto acustico molto complesso ed uno strumento (non solo musicale) che ha accompagnato molte civiltà sin dal tempo della dinastia Shang (Cina, XV secolo A.C.).
Lo sviluppo dopo il XI sec. ha riguardato sia l’abilità nel fondere campane sempre più robuste meccanicamente, sia la ricerca di tecniche per intonarle adeguatamente.
Per molti secoli la conoscenza dell’acustica campanaria è stata vaga e imprecisa (e durante tutto il medioevo praticamente assente); solo verso il XVI secolo i fonditori hanno iniziato ad individuare, nel complesso ed inarmonico suono prodotto dalla campana, le prime parziali ed hanno effettuato i primi tentativi di intonazione di queste.
Tuttavia, il problema dell’acustica campanaria era formulato solo attraverso alcune regole empiriche tramandate nella tradizione di ciascuna fonderia, e non era oggetto di ricerca scientifica né di alcuna formalizzazione.
Solo verso la fine del XIX secolo i lavori di Lord Rayleigh [1] e Simpson [2] hanno iniziato un filone di ricerca sull’acustica campanaria, cercando di affrontare l’irrisolta questione della strike note (ovvero, la nota percepita dall’orecchio al rintocco), e da che cosa essa dipenda.
Tale problema deriva dalla ricchezza armonica ed inarmonica del suono della campana, unitamente alla natura della percezione del pitch nei suoni complessi, che è un processo psicoacustico tutt’ora oggetto di studio e discussione [3] [4].
L’analisi spettrale del suono rivela nella campana la presenza di un grande numero di componenti (parziali), ciascuna associata ad un diverso modo di vibrazione. Alcune di queste parziali rispettano, in una campana intonata, una serie armonica che determina il pitch percepito al rintocco, mentre altre parziali si discostano da tale serie contribuendo a formare un suono ricco di inarmonicità e, talvolta, a rendere il pitch ambiguo.
Un ruolo determinante nella formazione del pitch è giocato da 5 parziali principali e da alcune parziali superiori. Nel presente lavoro è stata quindi focalizzata l’attenzione su queste componenti con l’obiettivo di analizzare la correlazione esistente tra le qualità acustiche di una campana, ovvero il suono e l’intonazione percepiti dall’orecchio umano, e l’analisi delle frequenze e dei modi propri di vibrazione che viene eseguita comunemente su componenti meccanici soggetti a carichi dinamici in esercizio.
La memoria è organizzata come segue.
Nel Paragrafo 2 vengono presentate le caratteristiche vibratorie della campana, ovvero i modi che questa presenta.
Nel Paragrafo 3 si focalizza l’attenzione su alcuni modi di vibrazione che giocano un ruolo determinante per le qualità acustiche.
Nel Paragrafo 4 si ha poi la presentazione delle analisi numeriche e sperimentali effettuate su una campana fornita dalla Fonderia Pontificia Colbachini.
Nel Paragrafo 5 viene illustrato il confronto tra i risultati numerici, sperimentali (acustici e accelerometrici) e le qualità acustiche teoriche previste per la campana; si evidenziano infine le conclusioni dello studio effettuato e le possibilità applicative.
I modi di vibrare che si manifestano in una campana si possono suddividere in due grandi famiglie:
modi estensivi e modi inestensivi (flexural). Questi ultimi comprendono i modi notevoli per le qualità acustiche della campana [5].
Figura 1: Esempio di modo inestensivo
In termini rigorosi un modo inestensivo si può caratterizzare nel modo seguente: considerata la circonferenza risultante dall’intersezione della superficie della campana con un piano normale all’asse di simmetria della stessa, tra le componenti radiale u e tangenziale v del moto vale, in ogni punto di tale circonferenza, la seguente relazione:
Dove θ è l’angolo polare nel piano considerato. Quindi, le due componenti si possono scrivere come:
Per m = 0, 1, 2, ..., queste equazioni corrispondono a differenti pattern nodali e, quindi, a differenti modi inestensivi. La Figura 1 riporta a titolo di esempio il modo in estensivo caratterizzato da m pari a 2. Si può notare che, per m > 0, tutti questi modi costituiscono doppiette degeneri. Ciò significa che, se la campana presenta una simmetria assiale perfetta, la posizione dei nodi meridiani non è determinata a priori, ma dipende dal punto in cui il battente va a sollecitare la superficie: in quel punto viene generato un antinodo.
Quindi, le due componenti di una doppietta presentano lo stesso pattern nodale ma con le posizioni dei nodi e degli antinodi meridiani scambiati. Queste doppiette vengono definite parziali.
Oltre che dal numero dei nodi meridiani, un modo è definito anche dal numero e dalle posizioni dei nodi circolari. In campanologia si usa quindi identificare un modo di vibrazione con la notazione (m, n), dove m è il numero di nodi meridiani e n il numero di nodi circolari.
Si può notare come questa notazione risulti ambigua, perché vi sono modi distinti che presentano lo stesso numero di nodi circolari ma in posizioni diverse.
Per evitare tale ambiguità, Tyzzer [6] ha proposto una notazione ‘musicale’, nella quale (m, 1#) indica che il nodo circolare è nelle vicinanze della bocca (soundbow) della campana, mentre (m, 1) indica che il nodo è all’altezza del corpo della campana (waist).
Dato che il battente colpisce la campana nelle vicinanze della bocca, quindi in corrispondenza dell’antinodo dei modi del tipo (m, 1), questi risultano particolarmente notevoli per la qualità acustica.
Tra i modi sopra descritti si possono individuare alcune parziali principali che vanno a concorrere in modo determinante al suono e all’intonazione della campana; data l’importanza vengono tradizionalmente denominate con i termini:
Hum (Subbasso), Prime (Fondamentale), Tierce (Terza Minore), Quint (Quinta), Nominal (Nominale).
Queste sono tutte associate a modi inestensivi (Figura 2). Le parziali principali dovrebbero esibire, in una campana intonata, un buon rapporto armonico f/fP, dove fP è la frequenza della fondamentale, ovvero:
Questa sequenza coincide, musicalmente parlando, con un accordo minore basato sulla tonica (Prime), e tale caratteristica minore spiega perché il suono della campana risulti così ‘austero’.
Il rispetto del rapporto definito sopra è necessario affinché la “strike note”, ovvero il pitch percepito quando la campana viene sollecitata dal battente, coincida con la nota espressa dalla Prime (o Fondamentale), ma non è, talvolta, sufficiente.
Questo perché il pitch è una sensazione psicoacustica molto complessa, che dipende sia dalle qualità spettrali del suono, sia dalle caratteristiche dell’apparato uditivo [4]. In sintesi si può dire che il tono percepito nei suoni complessi è determinato da una serie di parziali, non da una in particolare.
Quindi, non è ovvio che la strike note coincida con la Fondamentale e una buona intonazione di questa non garantisce che il pitch percepito risulterà determinato e intonato. Inoltre, l’orecchio umano non presenta una risposta uniforme a tutte le frequenze udibili (20 Hz – 20 kHz).
Quindi, parziali distinte vengono percepite con diversi livelli di intensità (loudness); in particolare, il range di frequenze tra i 500 e i 1500 Hz viene percepito con un’intensità maggiore.
Ecco perché influiscono sul pitch in modo determinante anche le parziali superiori; in particolare la Nominal, la Twelfth (o Duodeciem, in termini musicali, la quinta sopra la Nominal), e la Double Octave (un’ottava sopra la Nominal). Queste parziali corrispondono, rispettivamente, ai modi (4, 1), (5, 1), (6, 1), e vengono sollecitate notevolmente al rintocco (corrispondono a modi ring driven); inoltre, cadono solitamente nell’intervallo di frequenza in cui l’orecchio risulta più sensibile. Perché la campana risulti intonata è quindi necessario che queste parziali rispettino la serie armonica iniziata con le precedenti, che diventa quindi:
Figura 2:
Modi di vibrazione relativi alle prime 5 parziali e corrispondente notazione musicale (con la lettera ‘s’ è indicata la strike note).
Le linee tratteggiate denotano i nodi meridiani
e circolari.
Lo studio numerico e sperimentale delle frequenze proprie di vibrazione è stato condotto su una campana Sib3 (Si bemolle) realizzata dalla Fonderia Pontificia Colbachini di Saccolongo (PD) .
Figura 3: Campana Sib3 e relativo profilo
Si tratta di una fusione in lega di rame (Cu) e stagno (Sn) molto pura, detta bronzo per campane, contenente circa il 79% (in peso) di rame e il 21% di stagno, con basse percentuali (inferiori all’1%)di altri materiali.
La campana (Figura 3), del peso di 310 kg, ha un diametro di bocca di 800 mm, un’altezza di 706 mm. e presenta uno spessore variabile tra i 19.1 e i 54.2 mm circa.
Per ricavare numericamente le frequenze e i modi propri di vibrare della campana è stato utilizzato il software di analisi agli elementi finiti ANSYS®
9.0. In primo luogo è stato ricostruito un modello tridimensionale della campana a partire dalla sagoma utilizzata in fonderia per realizzare gli stampi entro i quali viene colato il bronzo (Figura 4).
Figura 4: Sagoma della campana e modello tridimensionale in ANSYS
Dalla sagoma, ad intervalli regolari in direzione verticale, sono state rilevate le coordinate rispetto all’asse di simmetria di punti del profilo interno ed esterno della campana; in questo modo è stato possibile ricostruire in ambiente CAD la sagoma, riportando le coordinate dei punti individuati e unendole tramite una spline. Il profilo così ottenuto è stato importato prima in ambiente SolidEdge® per operare la conversione a formato .iges ed infine in ANSYS dove ne è stata effettuata una rivoluzione attorno all’asse di simmetria che ha permesso di ottenere il modello solido della campana.
Nota la geometria, è stata generata la mesh utilizzando elementi BRICK 45 lineari e combinando mesh di tipo mapped (per il ventre e il bordo della campana) e mesh free (per spalla e testata); sono state quindi definite le condizioni di vincolo bloccando tutti i gradi di libertà delle aree che formano la sezione di attacco delle maniglie della campana e di 6 keypoints in corrispondenza dei centri degli attacchi delle maniglie in modo da simulare un incastro perfetto.
Per poter effettuare l’analisi modale è stato necessario definire le proprietà del materiale (bronzo) in termini di densità di massa (ρ=8640 kg/m
3), modulo di Young (E=110540 x 106 N/m2), coefficiente di Poisson (ν=0.375).
E’ stata quindi avviata la soluzione suddividendo il volume in un numero crescente di elementi, in modo da giungere a convergenza: la soluzione definitiva prevede 495613 elementi di dimensione di 7.5 mm per un totale di 438371 nodi, corrispondente a 1315113 gradi di libertà.
Impostando la ricerca delle prime 40 frequenze proprie, la soluzione ha richiesto un tempo di calcolo di circa 12 ore con un processore AMD Athlon (tm) 64x2 Dual Core, Processor 4800+ 2,41GHz e 3,25 GB di RAM .
Si sono ottenute in questo modo le frequenze e i modi di vibrare della campana; si riportano in Figura 5 le visualizzazioni dei 7 modi principali, indicati nel Paragrafo 3, con relativi valori delle frequenze proprie e posizione dei nodi circolari rispetto all’altezza totale della campana.
Figura 5: visualizzazioni dei 7 modi di vibrare principali con relativi valori delle frequenze e posizioni dei nodi circolari
La campagna di acquisizioni sperimentali è consistita nell’effettuare sulla campana, opportunamente sollecitata, 22 misure di accelerazione tramite un accelerometro piezoelettrico Crossbow modello CXL100HF1Z, in grado di misurare accelerazioni di ±100g, il cui segnale veniva acquisito tramite una porta analogica UNI 8 da una centralina IMC Cronos PL-2 collegata a sua volta ad un calcolatore.
L’accelerometro è stato fissato con del nastro adesivo in corrispondenza di 18 posizioni lungo un meridiano della campana (Figure 6.a-6.b). Per effettuare ciascuna acquisizione, una volta fissato l’accelerometro nella posizione prestabilita, si è sollecitata la campana colpendola con il battaglio in corrispondenza della posizione 13, cioè a circa 100 mm dal labbro, esternamente per le posizioni da 1 a 10 e internamente per le altre posizioni. La maggior parte dei colpi sono stati dati dall’esterno al fine facilitare il controllo del punto di impatto limitando così la variabilità delle condizioni di prova.
Figure 6.a - 6.b - Posizioni dell’accelerometro e dei paralleli
nodali delle prime 5 frequenze proprie. Esempio di fissaggio dell’accelerometro
Il segnale dell’accelerometro è stato acquisito dalla centralina con una frequenza di campionamento di 50 kHz ed è stato filtrato con un filtro passa-basso a 5kHz.
Per ogni posizione si è ottenuto quindi lo spettro dell’accelerazione nel dominio del tempo. Si riporta in Figura 7 lo spettro rilevato sperimentalmente con l’accelerometro fissato in posizione 8.
Figura 7: Segnale acquisito dall’accelerometro in corrispondenza della posizione 8
I segnali nel dominio del tempo sono stati quindi rielaborati tramite il software Famos 5.0 al fine di ottenere, per mezzo dell’algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) un segnale nel dominio della frequenza (trasformata discreta di Fourier).
Per ciascuna delle 18 posizioni è possibile rilevare sullo spettro in frequenza del segnale le prime 5 frequenze proprie di vibrazione, viceversa le parziali superiori risultano, soprattutto per le posizioni dalla 6 alla 14, difficilmente individuabili a causa dell’effetto filtrante dovuto al nastro adesivo impiegato per il fissaggio dell’accelerometro. Si riportano in Figura 8.a-8.b gli spettri in frequenza relativi alle posizioni 6 e 12.
Figure 8.a-8.b: DFT dell’acquisizione dell’accelerometro in corrispondenza delle posizioni 6 e 12
Si può notare come l’ampiezza delle varie frequenze non resti costante nelle acquisizioni bensì differisca a seconda della posizione dell’accelerometro. Diagrammando l’ampiezza di una certa frequenza propria in funzione della posizione dell’accelerometro, riportata in percentuale rispetto all’ampiezza massima dell’acquisizione, si osserva che laddove l’accelerometro è posizionato in un punto prossimo al nodo circolare relativo a tale frequenza, l’ampiezza di questa presenta il valore minimo, in accordo con il significato teorico di nodo come posizione caratterizzata da un’ampiezza di spostamento nulla. Ad esempio la frequenza Prime, il cui nodo circolare si trova in base all’analisi agli elementi finiti a 487 mm dalla sommità della campana, presenta un’ampiezza minima in corrispondenza della posizione 10 dell’accelerometro che dista 508 mm dalla sommità.
Si riportano in Figura 9 gli istogrammi di ampiezza delle varie parziali.
Figure 9: Andamento dell’ampiezza delle prime 5 frequenze al variare della posizione dell’accelerometro
Si noti che la frequenza Hum ha ampiezza minore verso l’apice della campana, infatti questo modo di vibrare non presenta nodi circolari. Pertanto l’ampiezza di spostamento è nulla in corrispondenza delle posizioni di vincolo (sommità della campana) e cresce verso la bocca.
Per le altre quattro frequenze principali si può facilmente rilevare la corrispondenza tra la posizione di minima ampiezza e la posizione del nodo circolare (cfr Figure 6.a e 9).
Contestualmente alle acquisizioni con l’accelerometro è stata effettuata una serie di acquisizioni del suono della campana. L’apparato sperimentale comprendeva un microfono cardioide AKG C-414, una scheda di acquisizione EDIROL UA-101 interfacciata al calcolatore via USB e un calcolatore.
Le registrazioni sono state effettuate ad una frequenza di campionamento Fs = 44.1 kHz, con risoluzione pari a 16 bit.
Successivamente, è stata effettuata un’analisi in frequenza in ambiente Matlab tramite FFT (Fast Fourier Transform) su finestre di Hanning di lunghezza pari a 16000 campioni e con uno zero padding factor pari a 100 (così da ottenere una risoluzione in frequenza di 0.03 Hz).
In Figura 10 è riportata l’analisi spettrale sul tratto di segnale corrispondente a 363 ms dopo il rintocco; sono evidenziate le parziali principali con le rispettive frequenze.
Si può notare come le notevoli ampiezze delle parziali Tierce, Nominal e Twelfth (o Duodeciem) confermino le osservazioni teoriche fatte in precedenza (sono modi ring driven), inoltre, tali parziali cadono nella regione dello spettro cui l’orecchio umano risulta più sensibile e la loro buona intonazione è quindi determinante per il pitch.
La parziale corrispondente alla fondamentale, invece, presenta un’ampiezza ridotta e cade in una regione dello spettro a loudness minore.
Figura 10: Analisi spettrale effettuata su una delle registrazioni del suono della campana.
Al termine delle analisi numeriche e sperimentali è stato possibile effettuare un confronto fra i risultati ottenuti con i vari approcci e valutare le qualità acustiche della campana reale rispetto alle qualità teoricamente previste.
Il confronto tra frequenze teoriche, numeriche e sperimentali (Tabella 1) è stato limitato alle parziali principali indicate nel Paragrafo 3 (le prime 5 più la Twelfth e la Double octave).
Per quanto riguarda le frequenze teoriche si è ricavata la frequenza della Fondamentale (corrispondente alla nota Sib) basandosi sulla tradizionale nota di riferimento per le campane, il La a 435 Hz, e tenendo presente che il rapporto tra due semitoni successivi ha valore costante pari a 21/12.
In questo modo si è ottenuta per il Sib una frequenza di 460.9 Hz, mentre le frequenze delle altre parziali sono state ricavate sulla base dei rapporti f/fP della serie armonica illustrati nel paragrafo 3.
In Tabella 1 si riportano per i vari approcci, numerico e sperimentali, i valori delle frequenze propie ottenuti, i rapporti f/fP e l’errore percentuale (e%) di ciascuna frequenza rispetto al corrispondente valore teorico.
Tabella 1- Confronto fra valori teorici, risultati numerici e sperimentali
Per quanto riguarda le qualità acustiche della campana rilevate sperimentalmente tramite microfono, si osserva che nonostante la frequenza della Fondamentale risulti superiore al valore teorico previsto, le restanti parziali della serie armonica che influenzano il pitch sono invece leggermente calanti, così pure i rapporti f/fp risultano inferiori a quelli teorici.
Si può prevedere [7] che gli scostamenti nella stessa direzione delle parziali Nominal e Twelfth (che sono inferiori al 3%) si ripercuoteranno con un scostamento della stessa entità sul pitch globale, quindi la strike note percepita risulterà calante nell’ordine dell’1% circa (per verificare tale scostamento sarebbe necessario un esperimento di percezione del pitch che esula dai nostri scopi).
Confrontando i due diversi approcci sperimentali (accelerometro e microfono) si rileva un ottimo accordo tra i risultati ottenuti, ad esclusione del quarto modo di vibrare (Quint). Per le ragioni già accennate nel Paragrafo 4.2 non è stato possibile estendere il confronto alle parziale superiori in quanto filtrate dall’accelerometro.
L’analisi FEM fornisce invece delle frequenze proprie più elevate sia rispetto ai valori sperimentali sia, anche se in misura minore, rispetto ai valori teorici. Globalmente però, come si può ricavare dalla Tabella 1, se ci si riferisce alle parziali notevoli per la definizione del pitch, le frequenze proprie calcolate con l’analisi agli elementi finiti differiscono al più del 2.5% rispetto ai valori rilevati sperimentalmente con il microfono.
Lo studio effettuato permette di affermare la possibilità di prevedere le qualità acustiche di una campana attraverso l’analisi numerica delle frequenze proprie di vibrazione, considerando le parziali che concorrono a determinare l’intonazione della campana.
Le frequenze proprie relative alle prime sette parziali calcolate numericamente sono state confrontate con i risultati di rilevi sperimentali effettuati con un accelerometro e un microfono. Fatta eccezione per le parziali Hum e Quint, lo scostamento massimo tra le frequenze calcolate numericamente e quelle misurate sperimentalmente relativamente alle altre cinque parziali è risultato del 2.5%.
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Bib-TS-000 - Testo di Ing. Arch. Michele Cuzzoni
Il testo qui presentato è estratto da uno studio del 2004, realizzato da quattro professori universitari dell'Università di Padova: G. Meneghetti*, C. Limenaa, R. Marogna, B. Rossi, e presentato al Convegno Nazionale dell'Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS).
Bib-TS-262 - [1] Rayleigh, Lord, “On bells”, Philos. Mag. 29, 1890, 1-17 ; reprinted in Scientific Papers of Lord Rayleigh (Dover,1964), Vol. 3, pp. 318-332.
Bib-TS-263 - [2] Simpson A. B., “On bell tones”, Pall Mall Mag., 7, 1895, pp. 183-94.
Bib-TS-264 - [3] Houtsma, A . J. M., and Goldstein, J . L., “The central origin of the pitch of complex tones: Evidence from musical interval recognition”, J. Acoust. Soc. Am. 51, 1972, pp. 520-529.
Bib-TS-265 - [4] Terhardt E., Stoll Q ., and Seewann M., “Algorithm for extraction of pitch and pitch salience from complex tone signals”, J. Acoust. Soc. Am. 71, 1982, 679-690.
Bib-TS-266 - [5] Rossing, Thomas D., “Acoustics of Bells”, Van Nostrand Reinhold, 1984.
Bib-TS-267 - [6] Tyzzer, F. G., “Characteristics of bell vibrations”, J. Franklin Inst. 210, 1930, pp. 55-56.
Bib-TS-268 - [7] Moore B. C. J., Glasberg B. R. and Peters R. W., “Relative dominance of individual partials in determining the pitch of complex tones”, J. Acoust. Soc. Am. 77, 1985, pp. 1853-1860.