Il teorema di Fourier afferma che un qualsiasi segnale periodico, sotto alcune condizioni matematiche (sempre verificate per i segnali fisici), può essere ottenuto mediante la somma di un termine costante e di infinite funzioni sinusoidali, le cui frequenze sono multipli interi di quella del segnale (ovvero le cui pulsazioni sono multipli interi di quella del segnale).

Nell’espressione 1, w₀ è la pulsazione del segnale periodico v(t), e t è, ovviamente, la variabile tempo; rimangono dunque da determinare, nei casi concreti, il valore del termine costante A₀, nonché i valori dell’ampiezza A_n e della fase iniziale f_n di ciascuna delle funzioni sinusoidali presenti nella serie. Tali valori sono diversi da caso a caso, dipendendo dal particolare andamento del segnale v(t) considerato.

Il teorema di Fourier, che può essere esteso con le opportune modifiche anche ai segnali non periodici, può essere visto da due angolazioni diverse.

Da un lato esso afferma che qualsiasi segnale, al fine della determinazione del suo comportamento, può essere visto come la somma delle sue componenti armoniche (analisi di Fourier); dall’altro lato, lo stesso teorema afferma che sommando un termine costante e termini sinusoidali di opportuna frequenza, ampiezza e fase iniziale, è possibile ottenere qualsiasi segnale, entro i limiti matematici della validità del teorema stesso (sintesi di Fourier).

La sinusoide con la stessa frequenza della funzione è detta fondamentale, le sinusoidi di frequenza multipla della fondamentale, armoniche. L'ampiezza delle armoniche è decrescente e tendente a zero con il crescere della frequenza. La successione delle ampiezze è denominata spettro.

Ponendo

si può anche considerare

come termine che rappresenta l'armonica di ordine m.

Le formule precedenti forniscono ampiezza e fase di ogni armonica, nota che sia l'espressione matematica della funzione periodica. E' comunque possibile, se di y(t) si conosce il solo grafico, ricavare i coefficienti con un procedimento grafico, o facendo opportunamente uso di un foglio elettronico.

E' interessante osservare quali conseguenze hanno sui coefficienti funzioni periodiche dotate di particolari simmetrie:

• Se l'area dei valori positivi è uguale all'area dei valori negativi, nel periodo T, il valore medio, A0 ,è nullo.

• Se la semionda negativa, ribaltata rispetto all'asse delle ascisse, è sovrapponibile alla semionda positiva, mediante traslazione, mancano tutte le armoniche pari.

• Se ciascuna semionda è dotata di un asse di simmetria verticale mancano tutti i termini in coseno per cui tutte le armoniche hanno valore nullo nei nodi della fondamentale.

Qualsiasi segnale periodico (cioè che si ripete identicamente nel tempo ad ogni periodo P ), è scomponibile in una serie di sinusoidi e cosinusoidi di frequenze multiple di 1/P. Per illustrare il procedimento di scomposizione, si consideri il caso di una forma d'onda definita in N=8 punti equidistanti nel suo periodo.

Ponendo tale periodo P=2p _[1], l'intervallo di campionamento risulta DT=P/N=p/4.

Supponendo che la forma d'onda considerata possa essere espressa come somma di 2 sinusoidi (una di ampiezza A1 e di periodo 2p [2] , l'altra di ampiezza A2 e di periodo p), di 2 cosinusoidi (una di ampiezza B1 e di periodo 2p, l'altra di ampiezza B2 e di periodo p ), ed infine di una componente continua C, si può scrivere il seguente sistema di equazioni (dove y_n è il valore del segnale al tempo n· DT e l'argomento delle sinusoidi e cosinusoidi è w·n· DT) :

Si hanno quindi 8 equazioni e 5 incognite, cioè i coefficienti A1 A2 B1 B2 e C che definiscono le ampiezze delle singole armoniche. Per risolvere tale sistema si osserva che la somma dei valori di seno e coseno per ciascuna colonna dà valore zero (la media di una sinusoide o di una cosinusoide sul periodo o suoi multipli è infatti sempre zero). Risulta quindi che la somma degli y_n è uguale a 8 volte C.

Per ricavare gli altri coefficienti si ricorre all'artificio di moltiplicare ogni riga per il termine moltiplicatore del coefficiente.

Ad esempio per ricavare A₁ si moltiplicano i termini della prima equazione per sen(p /4), quelli della seconda per sen(2p /4), e così via.

Sommando ancora per colonne si ottiene che tutte le colonne , eccetto quella delle y e quella degli A₁ , risultano uguali a zero. Nella colonna degli A₁ la somma dei sen² dà come risultato 4, ed in generale N/2.

Il calcolo di questi coefficienti è noto nella letteratura tecnica come DFT (Discrete Fourier Transform) e costituisce appunto l'analisi delle forme d'onda periodiche campionate in N punti, detta anche analisi di Fourier.

In questa analisi si evidenziano alcune caratteristiche:

• innanzitutto il numero di campionamenti N deve essere pari ed il massimo numero di armoniche considerate(qui rappresentate con k ) è K = N/2 -1.

• Si osserva poi che la componente continua della forma d'onda , cioè il coefficiente C, è uguale a zero se esiste una simmetria fra la parte positiva e quella negativa della forma d'onda stessa

• ed inoltre che i coefficienti B dei coseni sono nulli se esiste un'antisimmetria (cioè una simmetria con segno opposto) fra parte destra e parte sinistra della forma d'onda rispetto alla mezzeria verticale, cioè alla metà del periodo.

Per questi motivi l'esempio dato risulta composto da sole sinusoidi. Se invece la forma d'onda presenta una simmetria speculare, sempre rispetto alla mezzeria verticale, risultano nulli i coefficienti A dei seni. L'esempio rappresenta una forma d'onda composta da una costante (C), da due sinusoidi (fondamentale e seconda armonica di ampiezza rispettivamente A₁ e A₂) e da due cosinusoidi (di ampiezza rispettivamente B₁ e B₂).

Fig. 3 - Esempio di analisi e ricostruzione di una forma d'onda periodica (programma in Mathcad)

Fig. 4 - Programma come nella figura precedente, ma con un segnale a semionda parzializzata

[1] Ciò equivale a porre la velocità angolare w = 1, cioè a svincolarsi dal tempo effettivo ed a considerare quindi gli intervalli di tempo equivalenti a misure angolari(radianti). Si ha infatti che P=2p/w per cui l'w effettivo è =2p/P, e la scala dei tempi dovrà poi tener conto di questo valore.

[2] Per quanto detto nella nota ¹⁾ la w di questa è uguale ad 1 e la sinusoide si definisce fondamentale avendo il periodo uguale a quello del segnale. La successiva ha un periodo dimezzato, quindi w=2, e si definisce seconda armonica.