La frattura fragile avviene quando il materiale raggiunge il limite di cedimento ed esso si rompe in maniera irreversibile.

Secondo la fisica sperimentale, per consentire la propagazione di una cricca occorre che l'attuazione dell'evento sia energeticamente favorevole. L'energia elastica accumulata dal materiale (come conseguenza del campo di forze di trazione) deve essere sufficiente alla creazione di due nuove superfici libere interne che si formano man mano che la cricca avanza.

In Fig. H01-05-C si osserva una fessura di lunghezza 2L, all'interno di un materiale (oppure mezzo omogeneo e isotropo) lineare elastico, essa può avanzare per effetto di uno sforzo di trazione σ esclusivamente se la variazione di energia totale dE_t per aumento elementare della lunghezza dL è negativo. Cioè l'enunciato del Criterio di Griffith si scrive così:

[H01-05-03]

Il sistema di energia totale E_t è uguale alla somma di un'Energia di superficie E_s e di un aumento di energia meccanica di interazione W_i :

E_t = E_s + W_i   [H01-05-04]

dove:

E_s = lavoro necessario per creare la nuova superficie - fattore legato alla struttura atomica del materiale ed al tipo di legami chimici al suo interno.

W_i = è l'energia di interazione che descrive la relazione esistente tra il lavoro compiuto dalle forze che creano lo stato di carico del mezzo e l'energia potenziale elastica accumulata in esso.

Anche l'energia di interazione si può scrivere come somma di due valori:

 [H01-05-05]

dove:

ΔE_est = differenza di lavoro che le forze esterne agenti sul sistema devono esercitare nei casi opposti di mezzo fessurato e mezzo ideale.

ΔE_p^macro  = differenza di energia potenziale elastica nel mezzo, tra il caso in cui la fessura è presente e quello in cui è assente.

Se si pone che lo sforzo applicato σ sia costante mentre la frattura si apre, si può dimostrare che:

ΔE_est = - 2 ΔE_p^macro

in modo che:

W_i = - ΔE_p^macro  [H01-05-06]

Il segno negativo dell'energia meccanica indica una riduzione reale di energia durante la propagazione della fessura. L'equazione [H01-05-03] si può così scrivere:

[H01-05-07]

Esplicitando si ottiene:

[H01-05-08]

Quest'espressione afferma che per avere una frattura in un materiale, occorre che la variazione di energia potenziale elastica dovuta alla presenza della fessura, sia superiore al lavoro fatto per creare nuova superficie libera interna.

L'energia di superficie E_s espressa per larghezza unitaria del fronte di frattura, si può esprimere come:

E_s = 4 L γ_s   [H01-05-09]

Dove:

γ_s = energia per larghezza unitaria di fronte di frattura spesa per generare un incremento unitario della lunghezza di fessura.

Se si osserva la Fig. H01-05-C, il fronte si sviluppa ortogonalmente sia all'asse di carico, sia all'asse di fessura. L'energia γ_s è un parametro tipico del materiale: misura il lavoro necessario a rompere i legami chimici - che tengono coeso il materiale - lungo la linea ideale che rappresenta un segmento unitario del fronte di frattura. Il valore di γ_s è un parametro del materiale.

Per il Criterio di Griffith l'equazione [H01-05-08], si può scrivere così (considerando un mezzo lineare elastico di modulo di Young E e Coefficiente di Poisson ν, soggetto a deformazione di apertura):

[H01-05-10]

La condizione fisica di propagazione della fessura è tale che lo sforzo σ applicato normalmente all'asse maggiore della fessura soddisfi la condizione:

[H01-05-11]

Si definisce allora sforzo di cedimento σ_f per una cricca di lunghezza L_f l'espressione:

  [H01-05-12]

Per ogni cricca di lunghezza assegnata L_f  esiste un valore di sforzo applicato oltre a cui il materiale cede (cioè la fessura si propaga); fissato un valore di sforzo tensile si propagheranno tutte le fessure presenti nel materiale, purché la loro semilunghezza iniziale sia uguale o superiore alla lunghezza critica L_f:

[H01-05-13]

Il Criterio di Griffith si può applicare anche oltre il limite di comportamento fragile; per applicare l'equazione anche a materiali duttili, si introduce il concetto di lavoro plastico (p) - che rappresenta l'energia spesa dalle forze di carico per generare una deformazione permanente nel sistema - per ogni elemento di superficie e per una larghezza unitaria del fronte di frattura. Allora lo sforzo di snervamento in un materiale duttile è dato da:

La teoria di Griffith è estremamente semplice dal punto di vista concettuale e conduce a risultati quantitativamente corretti e, soprattutto, espressi come funzione di parametri materiali calcolabili o misurabili direttamente. Essa riveste un ruolo di paradigmantica importanza concettuale nella meccanica della frattura ed è stata applicata anche oltre il limite di comportamento fragile. Ciò è fattibile, a livello elementare, introducendo una semplice correzione fenomenologica che renda tale equazione applicabile anche a materiali duttili.

Si indichi con p il lavoro plastico (questo lavoro rappresenta l’energia spesa dalle forze di carico per generare una deformazione permanente nel sistema)  per elemento di superficie (e per una larghezza unitaria di fronte  di frattura). Allora è possibile proporre una formula fenomenologica per lo sforzo di snervamento in un materiale duttile come segue

[H01-05-14]

INDICE

Si introduca la forza generalizzata G di propagazione della frattura, che rappresenta l'energia disponibile per ogni incremento dL della lunghezza della fessura per una larghezza unitaria del fronte di frattura:

[H01-05-15]

Dalle equazioni [H01-05-06] e [H01-05-10] si ricava:

[H01-05-16]

Applicando lo sforzo di cedimento σ_f dell'equazione [H01-05-12], si può formulare il criterio di Griffith nella forma: la condizione fisica a partire da cui si osserva la propagazione della cricca è la forza generalizzata di propagazione della frattura che raggiunge il valore critico G_c  dato da:

[H01-05-17]

Ogni materiale ha un proprio valore di G_c.

Si introduce ora il parametro di Resistenza alla frattura R applicato all'energia di superficie E_s, che misura il lavoro che si deve fare per ogni incremento dL della lunghezza della fessura e per la larghezza unitaria del fronte di frattura (Fig. H01-05-C).

[H01-05-18]

Il parametro R varia da materiale a materiale: designa il lavoro che occorre realizzare sul sistema, per rompere una sequenza di legami chimici attraverso il fronte di frattura, per far avanzare il fronte di frattura stesso. Tale lavoro dipende dalla densità spaziale dei legami (orientamento cricca rispetto alla cristallografia del mezzo), dalla loro natura e forza.

R e G sono necessari per esprimere il bilancio energetico scritto nell'equazione  [H01-05-04]. Per ogni processo di avanzamento dL vale la relazione:

  [H01-05-19]

Quando vale il caso G = G_c si ha che la resistenza a frattura è data dall'energia di superficie:

[H01-05-20]

Il fronte di frattura avanza se G > R, mentre regredisce se G < R. Nella tabella [H01-05-a] si possono leggere i valori di resistenza a frattura (prima colonna), di forza generalizzata critica G_c (seconda colonna) per vari materiali fragili reali.

Considerando le equazioni [H01-05-17] e [H01-05-20], la differenza tra i valori delle grandezze riportate in prima e seconda colonna fornisce una stima della deviazione di ciascun materiale dal comportamento fragile ideale.