esemplificato per il sistema monoclino, con a e c nel piano

Si vuole determinare una base a*, b* e c* per lo spazio reciproco, in modo che ogni vettore reciproco sia esprimibile come combinazione lineare dei vettori di base reciproci.

In (a) sono indicate:

· La cella reale di base (a, c), con angolo interassiale b

· Le tracce di diversi piani di tipo (h0l), cioè in zona con b, sono anche indicate tracce di piani ‘fittizi’ a cui sono assegnati indici di Laue (tipo 002, e 00-2)

· d_hkl reali corti lunghi per indici di Miller alti: d002 < d001

In (b) e (c) sono mostrati:

· I vettori reciproci d* per ogni famiglia di piani, costruiti secondo le direzioni delle normali e con d_hkl* = k/d_hkl

· Vettori reciproci lunghi per indici di Miller alti: d*002 > d*001

· I punti finali dei vettori reciproci costituiscono anch’essi un reticolo (il reticolo reciproco) la cui cella unitaria reciproca è caratterizzata dai vettori a* = d*100 e |a*| = 1/d100; c* = d*001 e |c*| = 1/d001

· I vettori a* e c* non sono paralleli ad a e c, dato che le normali ai piani (100) e (001), nel reticolo monoclino non lo sono!

Estendendo nella terza dimensione, b* sta lungo la normale ai piani (010), ovvero esce dal foglio e coincide in orientazione (non in lunghezza) con b nel caso monoclino!

· Quindi in generale, l’orientazione di a e a* non è la stessa (né per b e c)

· Anche gli angoli interassiali cambiano (nel monoclino, b* = 180-b)

· Solo per sistemi retti (cubico, ortorombico e tetragonale) gli angoli si mantengono retti e le direzioni a/a* (e b/b*; c/c*) coincidono!

Qualsiasi vettore nello spazio reciproco sarà quindi combinazione lineare dei vettori di base a*, b* e c*, secondo: r* = d*hkl= ha* + kb* + lc*

Esempio: per la famiglia di piani (102) di fig. (a), d*102= 1a* + 0b* + 2c*

· La terna (hkl), che nello spazio diretto è associata ad una famiglia di piani paralleli, nello spazio reciproco indica le componenti del vettore d*hkl ad essi associato.

· Nello spazio diretto, ruvw = ua + vb + wc

I simboli [uvw] di una direzione sono le componenti di un vettore reale

· Nello spazio reciproco, d*hkl= ha* + kb* + lc*

Gli indici di Miller (hkl) sono le componenti di un vettore reciproco

Cella unitaria RECIPROCA di un cristallo monoclino:

· E’ ancora monoclina, e possiede ai vertici terne intere.

· Ogni vertice rappresenta una famiglia di piani reali

· L’origine è contrassegnata dalle ‘coordinate reciproche’ 000, per cui d*000 = 0a* + 0b* + 0c* e d000 = 1/d*000 = ¥

· Piano reale con indici di Laue (¥¥¥)

INDICE

· In cristalli con assi ortogonali, le direzioni a/a* (e b/b*; c/c*) coincidono: quindi: a.b = 0, a.b* = 0, etc.

· In cristalli cubici primitivi, la cella reciproca è anch’essa cubica P

· Ma per cristalli cubici con centrature I ed F cosa succede?

In (a): Cella cubica I reale (nel piano xy) con tracce di piani reali (hk0)

· La presenza di punti reticolari addizionali al centro della cella impone, come primo set di piani reticolari reali normali ad x, non (100), ma (200).

· Si deduce che il vettore reciproco in questa direzione sarà d*200 e non d*100

· Lo stesso vale per y e z; i vettori reciproci nelle tre direzioni saranno d*200, d*020 e d*002

· Tuttavia, nella direzione [110] si incontra la famiglia di piani reticolari reali (110), che genera un punto reticolare reciproco al centro della faccia a*b* della cella reciproca.

· Continuando in modo sistematico, si può costruire il reticolo reciproco corrispondente al reticolo reale Cubico I: Tale reticolo è un Cubico F !

· Analogamente, il reticolo reale Cubico F si trasforma nel reticolo reciproco Cubico I !

INDICE

· Relazioni fra vettori di base a, b, c e a*, b* e c*

Cella monoclina con a e c nel piani, b normale.

Per costruzione, c* è normale sia ad a che a b.

Ovvero: c*.a = 0 e c*.a = 0

Analogamente, per a* e b* valgono le:

a*.c = 0 e a*.b = 0

b*.a = 0 e b*.c = 0

Invece, per c.c* = |c||c*| cos f ?

Dato che |c*| = 1/d001 ; |c| cos f = d001

c.c* = |c||c*| cos f = d001/d001 = 1 e anche a.a* = b.b* =1

Quindi, si può definire spazio reciproco dello spazio reale (la cui base è costituita da a, b, c) quello generato dai vettori a*, b* e c*, tali per cui:

Definizione Assiomatica

· Il volume di una cella reale è dato da V = a.(bxc)

· Dato che (bxc) è un vettore parallelo ad a* e di modulo uguale all’area della faccia della cella definita da b e c, a* = (bxc)/V = (bxc)/a.(bxc)

· Lo stesso vale per b* e c*

· Se definisco V* = a*.(b*xc*), posso completare le relazioni che definiscono i vettori reciproci.

· a* = (bxc)/V b* = (cxa)/V c* = (axb)/V

· a = (b*xc*)/V* b = (c*xa*)/V* c = (a*xb*)/V*

· La regola di addizione

INDICE

Siano dati due piani (h1k1l1) e (h2k2l2) che giacciono in una zona. L’indice di Miller di qualsiasi altro piano (HKL) in zona con questi piani è dato da:

H = (mh1 + nh2); K = (mk1 + nk2); L = (ml1 + nl2),

con m ed n interi (piccoli);

Ovvero: (HKL) è combinazione lineare di (h1k1l1) e (h2k2l2)

INDICE

basta fare la somma vettoriale di due vettori reciproci d*

d*(mh1+nh2)(mk1+nk2)(nl1+ml2) = d*m(h1k1l1) + d*n(h2k2l2)

Esempio: d*102 = d*101 + d*001

· La legge di ZONA (o legge di Weiss)

INDICE

Se un piano (hkl) giace in una zona [uvw] (ovvero, se la direzione [uvw] è parallela al piano (hkl)) allora:

hu + kv + lw = 0

INDICE

Un piano reale diventa un vettore reciproco d*hkl

La direzione reale è caratterizzata da ruvw

Se un piano reale (hkl) giace in una zona [uvw], allora d*hkl e ruvw sono perpendicolari

Il prodotto scalare d*hkl . ruvw= (ha* + kb* + lc*).(ua + vc + wc)= 0

Tenendo conto dei prodotti scalari (reale . reciproco) = 0 o 1, si trova:

d*hkl . ruvw= hu + kv + lw = 0

Generalizzazione della legge di Weiss:

Si prenda un punto reale uvw (vettore ruvw) che giace sul piano reale (hkl).

INDICE

Il piano passa per l’origine O

Per costruzione, d*hkl e ruvw sono perpendicolari

d*hkl . ruvw = hu + kv + lw = 0

INDICE

Il piano non passa per l’origine, ma ne è distante nd_hkl (n-esimo piano della famiglia)

La condizione per cui un punto ruvw sia in questo piano è che le componenti di ruvw perpendicolari al piano siano uguali a nd_hkl ovvero:

ruvw . i = nd_hkl

dove i è un versore (vettore unitario) perpendicolare ai piani

Per definizione, i = d*hkl /|d*hkl| = d*hkl dhkl

ruvw . i = ruvw

. d*hkl dhkl = ndhkl , da cui ruvw

. d*hkl = n

Ovvero: d*hkl . ruvw = hu + kv + lw = n

· Valori di spaziature d tra piani reali (hkl)

d*hkl .d*hkl =|d*hkl|2 = 1/d2hkl = (ha*+kb*+lc*).(ha*+kb*+lc*)

Dato che solo per sistemi retti a*.b* = a*.c* = etc. = 0

E ricordando che: a*.a* = 1/a2

1/d2hkl = ha*.ha* + kb*.kb* + lc*.lc* = h2/a2 + k2/b2 + l2/c2

· Angolo r tra le normali ai piani (h1k1l1) e (h2k2l2)

Dato che a . b = |a| |b| cos r , cos r = d*h1k1l1 . d*h2k2l2 /. |d*h1k1l1| | d*h2k2l2 |,

che dà una espressione semplificata solo per cristalli cubici.

· Asse di zona all’intersezione di due piani (h1k1l1) e (h2k2l2)

E’ definito da ruvw = d*h1k1l1 x d*h2k2l2 con un po’ di algebra:

ua + vb + wc = a(k1l2-k2l1) + b(l1h2-l2h1) + c(h1k2-h2k1)

da cui: u = (k1l2-k2l1) ; v = (l1h2-l2h1) ; w = (h1k2-h2k1)

· Piano contenente due direzioni [u1v1w1] e [u2v2w2]

Dato che un piano è definito da d*hkl , il prodotto ru1v1w1 x ru2v2w2 dà:

h = (v1w2-v2w1) ; k = (w1u2-w2u1) ; l = (u1v2-u2v1)