· Che relazione esiste fra gli indici di Miller e quelli di Laue?

Per il piano reticolare (111) posso avere fisicamente più riflessioni:

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con m e n interi (piccoli);

Ovvero: (HKL) è combinazione lineare di (h1k1l1) e (h2k2l2)

Esempio:

Determinare l’indice di Miller del piano P, che giace sia nella zona determinata da (100) e (011), che in quella determinata da (110) e (101).

L’indice di Miller di P deve essere ottenibile come combinazione lineare sia della prima coppia che della seconda:

A tentativi:     (101) + (110) = (211) (m=1, n=1)

                         (011) + 2(100) = (211) (m=1, n=2)

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I reticoli romboedrici ed esagonali sono basati sull’impilamento di reticoli planari esagonali in sequenza ABCABC… (romboedrico) o AAA.. (esagonale semplice).

Per convenzione, gli strati esagonali stanno alla ‘base’ della cella (assi a e b), mentre l’asse c ne è perpendicolare, e parallelo alla direzione di impilamento.

Si possono usare almeno TRE diverse celle di riferimento:

Come in (a): cella esagonale primitiva, con assi a e b di lunghezza uguale e con angolo g = 120°. Questa scelta semplice NON rivela la simmetria esagonale del reticolo.

P.es., le facce laterali (equivalenti per simmetria! – forma {100} ) di un prisma esagonale retto hanno indici di Miller del tipo:

(100), (010), (1-10) (più le centrosimmetriche),

facendole sembrare di tipo e natura diverse!

Per superare questa apparente incongruenza, si introduce un QUARTO asse (NON indipendente!), chiamato u, a 120° sia da x che da y.

I quattro assi di Miller-Bravais x,y,u,z sono definiti da vettori di cella a, b, t, c, e implicano indici di Miller-Bravais di tipo (hkil)

Si introduce così una cella esagonale primitiva a 4 assi (b) con indici (hkil) o (hk.l), dove, per costruzione, h + k + i = 0, ovvero i = - (h+k)

· La forma {10-10} comprende (10-10), (01-10); (1-100) (più le centrosimmetriche!)

· La forma {10.0} comprende: (10.0), (01.0); (1-1.0) (più le centrosimmetriche!)

La terza scelta, © prevede una cella ortoesagonale (ortorombica con a/b=Ö3), che non evidenzia la simmetria esagonale del reticolo, ma può essere usata quando piccole distorsioni dall’idealità fanno scendere la simmetria da vera esagonale a reale ortorombica.

Anche per gli assi di zona si usano 4 indici (simboli di Weber), del tipo [UVTW], tale per cui U + V + T = 0

Come si passa da [uvw] a [UVTW]?

U = 1/3 (2u-v); V = 1/3 (2v-u); T = -U+V; W = w

Con questa convenzione, gli assi x, y ed u si trasformano in: x = [2-1-10]; y = [-12-10]; u = [-1-120];

La trasformazione inversa da [UVTW] a [uvw] si ottiene con: u = (U-T); v = (V-T); w = W;

Con gli indici di Miller-Bravais (piani) e simboli di Weber (assi), la legge di Weiss diventa:

In conclusione, un simbolo del tipo (111) per un sistema trigonale od esagonale può significare più cose, a seconda che il riferimento sia:

· la cella primitiva esagonale (tipo a);

· la cella ortoesagonale C (centrata in ab ) (tipo c);

· la cella esagonale a 4 assi (tipo b), e significa (11-21), ovvero (11.1)

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NON SOLO per i sistemi trigonali ed esagonali sono necessarie relazioni geometriche che trasformano celle, indici e simboli vari, dato che, p.es., alcune scelte convenzionali possono non essere adottate da tutti;

Es. storico: per anni l’asse unico del sistema monoclino era c, (non b)

Es. comune: Uso di Monoclino I, al posto di Monoclino C

Ci aiuta in queste trasformazioni l’algebra matriciale.

Esempio:

Due diverse celle possono descrivere il reticolo bidimensionale della figura (immaginata con il terzo asse perpendicolare al foglio):

I cella: a, b, c     II cella: A, B, C

Ovviamente: c = C

Per la I cella (abc), siano (hkl) e [uvw] piani ed assi;

Per la II cella (ABC), siano (HKL) e [UVW] piani ed assi;

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Il piano generico di traccia pq sia il primo piano fuori dall’origine:

Per definizione, pq ha intercette a/h su a, A/H su A, b/k su b, etc.

Ma: h è anche il numero di piani che sono intercettati lungo il vettore a

H è il numero di piani intercettati lungo A; etc.

h è il numero di piani intercettati lungo a (da O a R)

2k è il numero di piani intercettati lungo 2b (da R a S)

Quindi, il numero di piani intercettati lungo 1a + 2b (da O a S) è h+2k; dato che A = 1a + 2b, H è proprio h+2k;

Si deriva pertanto:

H = 1h + 2k + 0l

K = -1h + 1k + 0l

L = 0h + 0k + 1l

Gli indici di Miller si trasformano in modo UGUALE agli assi di cella.

Si adotta la convenzione di usare VETTORI-RIGA per gli indici:

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Preso un generico vettore r = ua + vb + wc = UA + VB + WC

r = ua+vb+wc = U(1a+2b+0c) + V(-1a+1b+0c) + W(0a+0b+1c)

e riordinando:     u = 1U + -1V + 0W

                                v = 2U + 1V + 0W

                                w = 0U + 0V + 1W

Le direzioni si trasformano in modo UGUALE agli assi di cella, se usiamo VETTORI-COLONNA:

La STESSA matrice T collega:

· Indici di Miller, famiglie di piani, dalla I alla II cella [righe]

· e direzioni, assi, zone dalla II alla I cella [colonne]

Le trasformazioni inverse sono date dalle matrici INVERSE

L’inversa della matrice T è T-1:

Nota: Il determinante della matrice T è det(T) = 3; ciò significa che la cella II, generata dalla I secondo:

(ABC)_colonna = T(abc)_colonna ha un volume 3 volte superiore!

Ricapitolando:

(ABC)_colonna = T(abc)_colonna (abc)_colonna= T-1(ABC)_colonna

(HKL)_riga = (hkl)_rigaT (hkl)_riga = (HKL)_rigaT-1

(UVW)_colonna = T-1(uvw)_colonna (uvw)_colonna= T(UVW)_colonna

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