Il piano NON deve passare per l’origine.

· Che simbolo assegniamo al piano RMS (che si estende in modo infinito nel cristallo...)? Il triangolo RMS è solamente la porzione contenuta nella cella unitaria della figura.

· Stiamo assegnando un simbolo non ad un PIANO, ma ad una FAMIGLIA di PIANI PARALLELI, come RMS e HFPG (e quello che passa per l’origine!).

Piani paralleli diversi intersecano origini di celle diverse, ma hanno identiche inclinazioni e corrispondono a traslazioni reticolari.

· Per RMS, individuare le intercette sugli assi (½a, b, c)

· In termini frazionari = ½, 1, 1

· Individuare i RECIPROCI: 2, 1, 1; inserirli in parentesi TONDE (211)

· (211) è l’indice di Miller del piano RMS

E per il piano HFPG?

· Estendendo il piano oltre i limiti di cella: (1a, 2b, 2c)

· In termini frazionari = 1, 2, 2

· Reciproci: 1, ½, ½, che, normalizzati ad interi, danno (211)

E per il piano all’origine?

· Intersezioni in 0, 0, 0: Indice di Miller indeterminato (¥¥¥)

E per un piano dall’altra parte dell’origine (JL)?

Intersezioni in -½a,-1b,-1c Indice di Miller (-2-1-1), cioè (211)

Gli indici di Miller (hkl) di un generico piano si derivano dalle posizioni delle intercette frazionarie sui diversi assi del primo piano della famiglia:

Intercette in: a/h, b/k, c/l

La famiglia di piani (hkl) contiene il primo piano con intercette a/h, b/k, c/l

Un secondo piano parallelo ha intercette 2a/h, 2b/k, 2c/l

Ovvero: Si incontrano h piani nel passare da un vertice della cella al vertice successivo lungo a.

Analogamente si incontrano k piani lungo b e l piani lungo c.

Gli indici di Miller si applicano anche a FACCE di poliedri (o cristalli macroscopici)

· Convenzionalmente, l’origine è al centro del cristallo.

· L’intercetta sarà a diversi milioni di passi di cella (in funzione delle dimensioni del cristallo).

· I rapporti delle intercette frazionarie saranno comunque esprimibili da numeri INTERI: Indici di Miller di una faccia saranno quelli della famiglia cui la faccia appartiene!

· Collegamento con la legge degli indici razionali (Haüy!)

· Quando un piano è in ZONA con una direzione, la sua intercetta con essa è infinita.

· Per la faccia frontale di un prisma retto (z verticale), l’intercetta è in n,¥,¥, i cui reciproci sono 1/n, 0, 0: indici di Miller (100)

Generalmente, gli indici di Miller sono interi primi tra loro. In qualche caso usare dei multipli comuni permette di individuare specificatamente un piano all’interno di una famiglia (per reticoli non primitivi…)

· Cubico F: Il piano indicato ha intercette ½, ¥, ¥  ed indici di Miller (200).

· La famiglia di piani con indici (100) deriva dalla normalizzazione di intercette del tipo (n00).

· (100) e (200) indicano due piani specifici, paralleli tra loro, che descrivono piani fisici differenti.

· Facce esterne di cristalli non soffrono di questa ambiguità.

Uso dei simboli di asse di zona e di indici di Miller per descrivere simbolicamente la simmetria dei cristalli.

Esempio per sistema cubico:

assi coordinati: x = [100]; y = [010]; z = [001]

(assi nel verso negativo) -x = [-100]; -y = [0-10]; -z = [00-1]

Ma gli assi sono intercambiabili ed equivalenti per simmetria:

[100]; [010]; [001]; [-100]; [0-10]; [00-1] = <100>

In parentesi TRIANGOLARI si individuano tutte le varianti per simmetria (scambi e permutazioni incluse).

Collettivamente,

· Le 4 diagonali di corpo del cubo si esprimono con <111>, di cui esistono 8 varianti:

[111]; [-111]; [1-11]; [11-1]; [-1-11]; [-11-1]; [1-1-1]; [-1-1-1]

· I 12 assi binari (spigolo a spigolo) sono inclusi in <110>

· Per una direzione generica <uvw> ci sono 48 varianti

Si possono raggruppare in FORME {parentesi graffe} indici di Miller di piani equivalenti per simmetria:

{100} è la collezione di 6 facce o piani: Forma del CUBO

{111} è la collezione di 8 facce o piani: Forma dell’OTTAEDRO

Se da {111} tolgo il centro di simmetria, rimangono quattro facce: (111); (1-1-1); (-11-1); (-1-11): forma del TETRAEDRO SOLAMENTE in cristalli cubici vale la regola che direzioni [uvw] sono perpendicolari a piani (uvw).

· In generale questo NON è vero:

Bib-TS-081 - Prof. N. Masciocchi - Dispense del Corso di Laurea in Chimica - Insegnamento di strutturistica chimica

Bib-TS-082 - C.Hammond - The Basics of Crystallography and Diffraction - Ed. International Union of Crystallography and Oxford University Press, 240 pg. (Ed. italiana: Zanichelli)

Bib-TS-083 - J.P.Glusker & K.N.Trueblood - Crystal Structure Analysis: A Primer - Oxford University Press, 220 pg. (non tradotto).