In termini geometrici in termini matriciali (somma di vettori)

INDICE

genera operazioni composte da una rotazione propria ed una traslazione di una frazione di un vettore traslazionale.

· Angolo di rotazione e = 360°/X (X = 1, 2, 3, 4, 6)

· Traslazione di un vettore s parallelo all’asse t (di lunghezza t), dove s è la componente elicogira.

INDICE

Genera operazioni composte da una riflessione propria ed una traslazione di una frazione di un vettore traslazionale.

· Riflessione

· Traslazione di un vettore g parallelo al piano glide, dove g è la componente di scorrimento.

In termini matriciali: x’ = Mx + g (riflessione + traslazione)

INDICE

I gruppi spaziali, determinati indipendentemente da Fedorov (Mosca,), Sohncke (Monaco), Schönflies (Gottinga) e Barlow (Londra) verso la fine del 1800, sono veri gruppi matematici che contengono simmetrie puntuali, traslazionali e composte (assi screw e piani glide).

Qualsiasi sistema 3D ordinato DEVE appartenere ad uno delle 230 tipologie possibili, così come in 2D erano possibili solamente 17 gruppi planari.

I diversi gruppi spaziali indicano la relazione reciproca di motivi nello spazio, senza definire la forma e l’orientazione del motivo di base.

P.es. AgClO4 ed urea NH2CONH2 mostrano lo stesso gruppo spaziale (I-4m2) ma strutture (motivi molecolari o ionici) completamente diverse!

L’intera catalogazione è distribuita dalle Tabelle Internazionali per le Cristallografia, che utilizza la simbologia di Herrmann-Mauguin.

Il simbolo H-M contiene dapprima una lettera maiuscola, che individua il reticolo di Bravais: P, C, I, F, R (qualche volta, per diversa orientazione degli assi appaiono anche A e B).

Seguono poi 1, 2 o 3 campi (numeri o lettere) che descrivono elementi di simmetria minimali (detti generatori), che per loro composizione, assieme al tipo di reticolo, permettono di generare l’insieme completo delle operazioni di simmetria del gruppo.

Esempi:

P –1 indica un gruppo spaziale triclino (ovviamente primitivo) che contiene un centro di simmetria. L'unico altro gruppo spaziale triclino è P 1 (acentrico).

P 2/m indica un gruppo spaziale monoclino primitivo, che possiede un asse binario perpendicolare ad un piano di riflessione (e quindi generano un centro). Suoi sottogruppi propri sono P 2 (acentrico), P m (acentrico) e P –1 (triclino, centrico!), a seconda che io rimuova, delle quattro operazioni iniziali [E, -1, 2, m] le coppie (-1,m), (-1,2) o (2,m).

C 2/m è un gruppo spaziale che contiene [E, -1, 2, m] + altre quattro operazioni generate dalla traslazione di reticolo C +1/2(a+b).

P b c n è un gruppo spaziale ortorombico primitivo, che possiede un piano di scorrimento di tipo b perpendicolare ad a, un piano di scorrimento di tipo c perpendicolare a b, ed un piano di scorrimento diagonale n perpendicolare a c. Questi generatori implicano anche la presenta di centri di inversione (-1) ed assi binari propri od elicogiri. L’insieme delle otto operazioni di simmetria che fanno gruppo pertanto è:

[E, 21(a), 2(b), 21(c), -1, b(^a), c(^b), n(^c)]

F d 3 m è un gruppo cubico (centrico), che contiene ben 192 operazioni di simmetria. Il reticolo è Cubico a facce centrate (F), esistono piani di scorrimento di tipo ‘diamond’, assi ternari lungo le diagonali di corpo e piani di riflessione m che normali alle diagonali di faccia. Tutte le altre operazioni di simmetria sono generate dalle varie combinazioni di F, d, 3 ed m.

INDICE

Il numero di punti equivalenti nella cella unitaria è chiamata molteplicità. Essa equivale al numero di operazioni di simmetria del gruppo.

Una posizione generale è un gruppo di punti equivalenti con simmetria puntuale (simmetria di sito) 1. Ovvero nessuna!

Una posizione speciale è un gruppo di punti equivalenti con simmetria puntuale (simmetria di sito) maggiore di 1.

L’unità asimmetrica di un gruppo spaziale è la più piccola parte della cella che, attraverso le operazioni di simmetria di gruppo, riempie completamente la cella stessa. I suo volume è dato da:

V(unità asim.) = V(cella)/molteplicità della posizione generale

All’interno dell’unità asimmetrica NON esiste alcuna coppia di punti correlata da un’operazione di simmetria del gruppo.

L’unità asimmetrica contiene TUTTA l’informazione necessaria per la descrizione della struttura cristallina, una volta noti il gruppo spaziale e la cella.

INDICE

INDICE