Diversamente, la ricopertura completa del piano non può essere effettuata con: Pentagoni, Eptagoni, Ottagoni, etc., Cerchi (5,7,8,...,¥)

Ricopertura aperiodica con poligoni differenti (Penrose, 1974). Quasi-cristalli (leghe Al-Mn, Schechtman et al., 1951)

Tessellazione del piano con rombi (2D):

(a) di ugual dimensione (angoli di 60 e 120°)

(b) di dimensione diversa (angoli diversi da 60 e 120°)

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Esempio: Studi grafici di M.C.Escher (anni ‘40 e ‘50). https://www.mcescher.com/  

Ciò che importa non è la natura del poligono (la piastrella), ma la forma dell’oggetto e la sua orientazione.

I diversi oggetti sono mutuamente complementari.

Piastrella: idealizzazione geometrica del periodo di ripetizione.

Contenuto della piastrella: oggetto con forma ed orientazione.

Cristallo: Ripetizione periodica di oggetti (dalle forme più disparate), in 1, 2 o 3 dimensioni.

· 1D Periodo (Pettine, Battiti cardiaci)

· 2D Maglia (Favo d’api; Reticella)

· 3D Cella (Carceri, Caselle Postali)

INDICE

· Prendiamo un punto nel piano (1) e, tramite un asse binario esterno ad esso, generiamo il suo simmetrico (2):

· Applichiamo a (1) una traslazione generica a generando (3)

· Il punto (4) è generato dall’asse binario che opera su (3).

· Il parallelogrammo di lati a e b e angolo interassiale g costituisce la cella unitaria del reticolo planare obliquo.

reticolo planare obliquo simmetria 2 a ¹ b e g ¹ 90°

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· Prendiamo un punto nel piano (1) e, tramite un asse binario esterno ad esso, generiamo il suo simmetrico (2):

· Applichiamo a (1) una traslazione a, generando (3), tale che (1),(3),(2) sia un triangolo retto;

· Il punto (4) è generato dall’asse binario che opera su (3).

· Il parallelogrammo di lati a e b e angolo interassiale 90° è un rettangolo ed costituisce la cella unitaria del reticolo planare retto.

reticolo planare retto simmetria mm a ¹ b, g=90°

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· Prendiamo un punto nel piano (1) e, tramite un asse binario esterno ad esso, generiamo il suo simmetrico (2):

· Applichiamo a (1) una traslazione a, generando (3), tale che (1),(3),(2) sia un triangolo isoscele, con i due lati uguali aventi vertice comune in (3);

· Il punto (4) è generato dall’asse binario che opera su (3).

· Il parallelogrammo di lati a e b e angolo interassiale g è un rombo e costituisce la cella unitaria del reticolo planare rombico.

reticolo planare rombico simmetria mm a = b, g¹90°

Nota bene: questo reticolo ha la stessa simmetria del reticolo planare retto: come mai?

E’ possibile trasformare il reticolo planare rombico in un reticolo planare retto non primitivo, ma centrato, combinando a e b in modo che: a’ = a+b e b’ = a-b e g’ = 90°.

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· Prendiamo un punto nel piano (1) e, tramite un asse binario esterno ad esso, generiamo il suo simmetrico (2):

· Applichiamo a (1) una traslazione a, generando (3), tale che (1),(3),(2) sia un triangolo isoscele retto;

· Il punto (4) è generato dall’asse binario che opera su (3).

· Il parallelogrammo di lati a e b e angolo interassiale 90° è un quadrato e costituisce la cella unitaria del reticolo planare quadrato.

reticolo planare quadrato simmetria 4m a = b, g=90°

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· Prendiamo un punto nel piano (1) e, tramite un asse binario esterno ad esso, generiamo il suo simmetrico (2):

· Applichiamo a (1) una traslazione a, generando (3), tale che (1),(3),(2) sia un triangolo equilatero;

· Il punto (4) è generato dall’asse binario che opera su (3).

· Il parallelogrammo di lati a e b e angolo interassiale 120° è un rombo (somma di due triangoli equilateri adiacenti) ed è la cella unitaria del reticolo planare esagonale.

reticolo planare retto simmetria 6m a = b, g=120°

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Esistono 10 gruppi puntuali cristallografici.

Esistono 5 reticoli planari.

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La combinazione di periodicità di traslazione (simmetria traslazionale) e simmetria puntuale può dar luogo a nuovi elementi di simmetria:

Linee di riflessione con scorrimento: operazione composita che prevede, riflessione su una linea e traslazione lungo di essa di una frazione ben definita (tipicamente metà) cella.

Come le linee di riflessioni normali, cambiano un oggetto nel suo enantiomero, ma, oltre a ciò, lo traslano di ½ parametro.

Le linee di riflessione con scorrimento (linee glide, o g) sono compatibili solamente con reticoli planari retti o quadrati.

Combinando simmetrie puntuali, reticoli ed eventuali simmetrie composte di scorrimento, si possono ottenere unicamente 17 gruppi planari, ovvero 17 modi diversi di mettere in relazione, in un impaccamento planare, infinito e periodico, un oggetto asimmetrico, come R.

Ogni gruppo planare ha un’etichetta associata:

· p per primitivo, c per centrato;

· si indicano anche gli operatori di simmetria minimali

· (altri possono esserne generati per composizione: p.es. applicare due volte un asse quaternario (90°) genera una rotazione binaria di 180°)

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