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Teoria musicale
AREA I - ARTE TECNICO-SCIENTIFICA (ATS)
Cap. ATS-E03 - Musica - Pag. ATS-E03.20
Gli argomenti trattati sono stati inseriti da Ing. Arch. Michele Cuzzoni nel 2008 - © Copyright 2007- 2024 - e sono desunti dalla documentazione indicata in Bibliografia a fondo pagina
L’esigenza del temperamento nasce dal fatto che, per comodità, si desidera costruire Strumenti a tastiera con 12 note per ogni ottava. Con gli altri Strumenti, come gli Archi, i Fiati e, ultimo solo nell’elenco, lo Strumento più perfetto, ovvero la voce umana, è comunque possibile intonare gli intervalli secondo i rapporti Pitagorici semplici e ciò diventa un obbligo, quando non sono accompagnati da altri Strumenti ad accordatura fissa, come quelli da tasto. Così facendo, non si udrà il benché minimo battimento, quale che sia l’accordo eseguito, anche se, purtroppo, si continua ad inculcare negli allievi equazioni strane del tipo Do diesis = Re bemolle, magari avvalorate da strumenti elettrofoni per dimostrare acusticamente quanto asserito, oppure utilizzare gli stessi strumenti di tortura come base affinché i Cori siano aiutati nell’intonazione o, meglio, nella stonatura.
Come a tutti noto, il rapporto pitagorico semplice della quinta è di 3 a 2. Poiché nessuna potenza intera di 3 può essere uguagliata ad una potenza intera di 2, ne deriva, che con un numero intero di quinte non è possibile ottenere un’ottava. Da qui l’esigenza di modificare le quinte per salvaguardare l’integrità del rapporto di 2 a 1 per non avere battimenti sull’ottava. Il rapporto fra l’ampiezza di 12 quinte e 7 ottave 531441 a 524288 viene a costituire il comma, per la precisione il comma Pitagorico. Un altro tipo di comma è quello sintonico, espresso dal rapporto di 81 a 80, indicante la differenza di ampiezze fra un tono grande ed un tono piccolo della scala naturale. Pur riferendosi la necessità di temperare rispetto al comma Pitagorico, nei calcoli può essere indifferentemente adoperato il comma sintonico, più agevole da manipolare, commettendo un errore intorno ad una parte su mille, abbondantemente trascurabile rispetto alla precisione del nostro strumento naturale di misura. Pertanto, nel seguito del discorso, si parlerà indistintamente di comma, senza ulteriori specificazioni di sorta.
Il primo temperamento di cui si ha memoria codificata è quello mesotonico, in cui si diminuiscono undici quinte di un quarto di comma, con il risultato di ottenere il maggior numero possibile di terze pure, ma con l’inconveniente di creare, fra Sol diesis e Mi bemolle, una quinta di molto larga, detta quinta del lupo, e questo giustifica la scrittura formale dell’intervallo come sesta diminuita. Un siffatto temperamento permette l’esecuzione agevole di tonalità armate fino ad un paio di accidenti in chiave; già con tre si comincia a notare una certa asprezza e lo scrivere in una tonalità piuttosto che in un’altra significava effettivamente scegliere un carattere musicale. Se, vice versa, si decidesse di impiegare più tasti per ottava, allora, vi potrebbero essere molte più quinte pure, a patto che si costruiscano i doppi tasti cromatici, come, ad esempio, a Bologna, dove negli Organi della Cattedrale di San Petronio, troviamo doppi tasti spezzati per Sol diesis / La bemolle e per Re diesis / Mi bemolle.
Il passo successivo consiste nel sistema partecipato della Scuola Ligure, dove si diminuiscono dieci quinte di un quarto di comma e l’eccedenza è ripartita o partecipata, come si diceva in allora, equamente fra le due quinte Sol diesis – Mi bemolle & Mi bemolle – Si bemolle. Per l’indicazione Sol diesis in luogo di La bemolle, si confronti il capoverso precedente
Tuttavia, anche questo sistema, pur artisticamente valido non permetteva ancora di utilizzare senza problemi tutte le tonalità del circolo. Ed ecco la proposta di Werckmeister: le quinte diminuite, sempre di un quarto di comma, sono soltanto cinque, di cui quattro consecutive, che danno luogo alla terza pura, mentre le altre sette quinte sono pure. Questo temperamento fu approvato anche da Buxtehude, che voleva utilizzare agevolmente il cerchio delle tonalità, pur mantenendone il diverso carattere, ma senza avere la complicazione dei doppi tasti cromatici.
Con Johann Sebastian Bach nasce l’esigenza della tastiera ben temperata e, quindi, del temperamento circolante, che ripartisce il comma fra le varie quinte, potendo essere diminuite od aumentate di frazioni di comma, ma la somma algebrica delle correzioni deve fare, comunque, -1, a differenza dei temperamenti precedenti. Il temperamento di Johann Sebastian Bach nasce dall’esigenza di ampliare lo spettro delle tonalità utilizzabili, quindi salvaguardando le quinte e, soprattutto, le terze, senza, però, appiattire le differenze fra una tonalità e l’altra, riducendole a mera trasposizione. Questo temperamento è stato cifrato sotto forma di acrostico nel frontespizio del
Wohltemperierte Klavier, pubblicato nel 1722, acrostico letto ed interpretato per la prima volta in epoca moderna dal M.o Graziano Interbartolo, che ha pubblicato un interessante
saggio al riguardo. La geniale intuizione avuta dal Maestro nel 1722, diminuendo sette quinte di un quarto di comma, aumentandone tre di un dodicesimo e lasciando le rimanenti quattro pure ha reso possibile il soddisfacimento delle esigenze di cui sopra, oltre tutto, il fatto di avere le quinte pure Mi – Si, Fa diesis – Do diesis, Si bemolle – Fa e Si naturale – Fa diesis addomestica le terze nella triade, così come le terze pure Do – Mi e Fa – La addomesticano le quinte, ristrette di un quarto di comma come quelle mesotoniche, se eseguite nell’ambito della triade perfetta, a causa di fenomeni non lineari che, al momento, non si è ancora stati in grado di valutare e modellare in maniera efficace. Kirnberger, un allievo di Bach ha semplificato i temperamenti precedenti, creando un temperamento, anch’esso circolante, diminuendo quattro quinte di un quarto di comma e creando un temperamento con una sola terza pura, che privilegia le tonalità con i bemolli.
Attraverso vari passaggi successivi, come, per esempio, quello del Bernasconi, che diminuiva otto quinte di un ottavo di comma, creando un temperamento circolante, ma molto dolce, arriviamo all’appiattimento del temperamento equabile: dodici quinte diminuite di un dodicesimo di comma, a costituire un’ottava divisa in dodici semitoni uguali. Questo temperamento ha poca o punta valenza artistica, poiché le tonalità sono ridotte a mera trasposizione l’una rispetto all’altra, senza differenza di carattere. Oltre tutto, un temperamento estremamente difficile da realizzare, almeno ad orecchio, mentre la diminuzione di un quarto di comma, abitualmente impiegata per i temperamenti fino a Kirnberger è semplice da ottenere, poiché, nell’ottava centrale, comporta quattro battimenti al secondo.
Un altro temperamento circolante, affermatosi nell’area Partenopea, è quello proposto da Sievers e descritto nel suo trattato citato in bibliografia: cinque quinte diminuite di un ammontare non dichiarato, poiché l’Autore parla genericamente di quinta scarsa se si accorda l’estremo superiore dell’intervallo oppure aumentata se la nota da accordare è l’estremo inferiore, ma, essendo il temperamento circolante e le diminuzioni uguali, le stesse non possono che essere pari ad un quinto di comma. Interessante il fatto che il Sievers riporta (in lingua Italiana) i caratteri delle tonalità, secondo una catalogazione data da Christian Friedrich Daniel Schubart nel suo trattato Ideen zu einer Ästhetik der Tonkunst, pubblicato postumo nel 1806 (cfr. appendice).
Nel documento Confronto, scaricabile in formato pdf, si trova un sistema di pentagrammi riportante lo schema dei sei temperamenti fin ora descritti.
A commento del saggio citato, scritto, oltre che dal M.o Interbartolo, anche dal M.o Venturino e dal Rev.mo Prof. Bof. si possono fare due osservazioni.
La prima riguarda i temperamenti circolanti. Dalla stessa definizione di comma, discende che, per accordare secondo un temperamento circolante, utilizzando la stessa unità per misurare le correzioni sulle dodici quinte, la somma di queste correzioni deve dare -1. Si può fare un parallelo con la teoria della relatività formulata da Albert Einstein. Ai fini della comprensione, è però necessario fare una premessa. Il prodotto scalare di due vettori può essere definito come la somma dei prodotti delle componenti omonime (oppure del primo vettore per le complesse coniugate del secondo, se tali componenti sono complesse). Quanto affermato vale, ovviamente, nell’ipotesi di metrica Euclidea. Generalizzando, si può introdurre un concetto di tensore metrico, grazie al quale il prodotto scalare nella forma più generale altro non è che il prodotto del primo vettore per il tensore metrico, a sua volta moltiplicato per il complesso coniugato del secondo. Tale premessa era necessaria per introdurre il passaggio dalla fisica classica Galileiana alla relatività Einsteiniana: nella prima esistono lo spazio, nelle tre componenti (x; y; z) ed il tempo come entità separate e di comportamento diverso. È, infatti, a tutti noto che nello spazio ci si può muovere arbitrariamente nei due versi di qualunque direzione, operazione proibita nel caso del tempo, che ha un suo orientamento dal passato al futuro, attraverso il presente. L’intuizione di Einstein fu quella di unificare i due concetti, mediante un oggetto creato da Minkowski: il cronotopo, non più lo spazio ed il tempo, ma un nuovo ente quadridimensionale, dove lo spazio ed il tempo risultano delle componenti. Per fare ciò, è necessario definire il quadrivettore, dove x, y & z sono le componenti dello spazio ordinario, t è il tempo e c è la velocità della luce nel vuoto (2.997×10^8 m/s). Al fine di salvaguardare la cosiddetta freccia del tempo (orientamento unidirezionale), non basta più il tensore metrico Euclideo (matrice identità), ma si deve definire una nuova entità detta tensore metrico iperbolico. Il determinante di tale tensore è uguale a -1: la compensazione necessaria per unificare due realtà apparentemente inconciliabili. E si può dire di più: condizione per avere una metrica iperbolica è che il determinante sia uguale a -1, quindi, un termine singolo di pari valore, indipendentemente dalla sua posizione, oppure tre termini pari a -1. Ciò significa che ci sono tre componenti bidirezionali ed una unidirezionale, oppure viceversa, ma mai tutte le componenti dello stesso carattere, né due di un carattere e due di un altro. Quindi, si potrebbe fare un parallelo fra temperamento e cronotopo: il primo per dare unità alla tastiera, il secondo per dare unità alla trattazione delle variabili fisiche usualmente misurate, quelle della vita di tutti i giorni. Sempre il solito numero -1 di mezzo.
La seconda osservazione riguarda l’origine del modo minore come scala di sottodominante originata dalla serie dei subarmonici (solo virtuali) della stessa fondamentale, i cui armonici superiori (reali) danno luogo alla scala maggiore. Lo stesso parallelo si può fare con gli esacordi. Ut = C dà l’esacordo naturale; Ut = G fornisce l’esacordo duro, costruito sul primo armonico superiore in mutazione, mentre Ut = F, caratterizza l’esacordo molle, costruito sul primo armonico inferiore in mutazione. Anche qui si può fare il parallelo fra gli aggettivi Maggiore & Minore, Positivo & Negativo, Duro e Molle, Reale & Virtuale.
Contributo a cura di ROBERTO BORRI, ingegnere meccanico, diplomato in Organo e composizione organistica.
Descrizione dei caratteri delle tonalità, dal trattato Ideen zu einer Ästhetik der Tonkunst Christian Friedrich Daniel Schubart, estratto tradotto da G. F. Sievers ed inserito nel suo volume Il Pianoforte: guida pratica per costruttori, accordatori, dilettanti e possessori di Pianoforti.
Su’ colori delle tuonalità
Schubart ha stabilito la seguente caratteristica nei tuoni:
I tuoni non coloriti esprimono l’innocenza e la semplicità; i sentimenti teneri e malinconici si esprimono coi bemolli, e le forti passioni coi diesis.
Do terza maggiore. È puro, esprime innocenza, semplicità, voce di bambini.
La terza minore. Devozione donnesca, carattere molle.
Fa terza maggiore. Compiacenza, riposo
Re terza minore. Tristezza di donna, che produce vapori e lo spleen.
Si bemol terza maggiore. Amor sereno, buona coscienza, speranza, presentimento di una migliore vita.
Sol terza minore. Disgusto, malessere, rancore per non riusciti progetti.
Mi bemol terza maggiore. Devozione, discorso con Dio, espressione della Santissima Trinità (effetto dei tre bemolli).
Do terza minore. Spiega d'amore, e lamenti di contrastato amore; ogni languire e sospirare d’amore sta in questo tuono.
La bemol terza maggiore. Voce sepolcrale, morte, giorno di giudizio, l'eternità sta nel suo recinto.
Fa terza minore. Profonda malinconia, lamenti degli estinti, brama di morire.
Re bemol terza maggiore, Tonalità guercia, imbastardita, nel duolo e nella volontà, ridere non può, ma sorride sardonicamente, piange in parodia, carattere equivoco.
Si bemol terza minore. Eteroclita, pensiero cupo, misteri della notte, scontentezza di sé e degli altri, meditazione al suicidio.
Sol bemol terza maggiore. Trionfo su di una difficoltà, libero respiro sulle passate pene, l’eco di un’anima che ha molto sofferto e poi vinto sta in questo tuono.
Mi bemol terza minore. Esprime sentimenti di paura, di terrore e la disperazione; se gli spiriti potessero parlare, lo farebbero in questo minaccioso tuono.
Si terza maggiore. Esprime passioni feroci, la collera, la gelosia, la rabbia, il delirio.
Sol diesis terza minore. Oppressione al cuore, soffocamento, lotta ed agonia.
Mi terza maggiore. Sfrenatezza, gridi, riso volgare, scherzi triviali.
Do diesis terza minore. Sincero pentimento, contrizione, speranza in Dio, tenero amore ed amicizia.
La terza maggiore. Dichiarazione di amore, contentezza, speranza di rivedersi, rassegnazione intera, serenità giovanile.
Fa diesis terza minore. Voce tetra, pensiero inquieto, dispiacenza e scontentezza, perciò anela sempre a ritemprarsi nella pace di La terza maggiore, o pure nella trionfante beatitudine di Re terza maggiore.
Re terza maggiore. Alleluia, esultazioni, ma anche voce di guerra, giubilo e trionfo, grande festività.
Si terza minore. Voce religiosa, la sommissione e la rassegnazione in Dio, ma questa tonalità è su tutti gli strumenti bastantemente difficile e per ciò poco curata.
Sol terza maggiore. Esprime cose campestri e contadinesche, fedeltà, amicizia, semplicità e contentezza, insomma ogni movimento di cuore tranquillo; peccato che molti prendono questa tonalità per troppo facile ed usuale.
Mi terza minore. Voci di pura giovinetta, inclinazioni innocenti; non avendo che un sol colore, esprime dolci lagrime e speranza, ritemprandosi in Do terza maggiore, tuono fondamentale con piena soddisfazione per l'udito e cuore.
Dopo queste chiare dimostrazioni, crediamo che ogni lettore sarà convinto che lo spartimento della tastiera non è tanto falso come i musicisti di altri strumenti pretendono. I più remoti popoli molto tempo prima di Guido d'Arezzo, avevano i 12 suoni in un’ottava come accertano i viaggiatori di quei tempi tornati dal Giappone e dalla Cina; i Greci ed altre nazioni con diverse spartizioni non hanno combinato niente di meglio.
Oggi tutti i popoli della Terra han l'istessa spartizione, di cui la tastiera forma il tipo più perfezionato, ed il Pianoforte è l'istrumento il più armonioso e perciò il più preferito presso tutta la gente colta.
Or bene, cosa dimostra tutto questo? Dimostra che la spartizione della tastiera, arrivata a questa perfezione, dev'essere risultato di lunghe meditazioni presso molte nazioni, e che essa è logicamente basata. La tastiera soia è, invariabilmente colorita in tutte le tuonalità, esprimendo passioni, virtù, innocenza, ecc.
Le leggi di natura non permettono di restringere e circoscrivere l’immensa varietà dei colori in una monotona eguaglianza per tutte le tuonalità come molti vorrebbero pretendere. Vi sono accordatori i quali dividono la supposta differenza in eguali porzioni per ogni tasto, e danno così all'intero Pianoforte un sol colore sgradevole. La voce riesce ammalata, gli accordi scarsi e tutto lo strumento pare scordato.
Dio fra le Sue immense meraviglie non ha creato due cose perfettamente simili, ed in questa varietà infinita nella creazione intera sta la sublime bellezza dell’opera.
Contributo a cura di ROBERTO BORRI, ingegnere meccanico, diplomato in Organo e composizione organistica.
Il presente schema è scaricabile in formato pdf facendo clic qui.
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