D’Alembert fu il primo che presentò una soluzione per integrare l’equazione:

    che caratterizza le vibrazioni delle molecole in un mezzo elastico, dove  c  è la velocità di propagazione dell’onda. Pertanto la 4.1 prende anche il nome di “equazione di D’Alembert”.

    D’Alembert affrontò il problema studiando le forme assunte da una corda vibrante vincolata agli estremi. In particolare, mostrò che le configurazioni assunte dalla corda sono infinite: la configurazione sinusoidale, dimostrata da Bernoulli, è una delle tante.

    La funzione s(t, x) che descrive le infinite configurazioni della corda – così dimostrò D’Alembert – è data da:

    dove f₁ e f₂ sono due funzioni arbitrarie, da valutare mediante le condizioni al contorno e le condizioni iniziali del problema. In altre parole, la soluzione generale è data dalla somma di due onde viaggianti, una progressiva (f₁) e l’altra regressiva (f₂).

    Data la sua complessità, l’equazione di d’Alembert può essere integrata con gli ordinari metodi del calcolo solo in tre casi: quello di onda piana progressiva (come si è ipotizzato nei tre paragrafi precedenti, allorché abbiamo considerato la propagazione dell’onda in una sola direzione entro un mezzo di lunghezza indefinita), di onda sferica progressiva, e di onda piana stazionaria (quando il mezzo dove si manifesta la propagazione del moto vibratorio è di lunghezza definita). Per la risoluzione di casi più complessi si ricorre a metodi numerici.

    Il problema fu affrontato da D’Alembert mediante una sostituzione di variabili; noi lo affronteremo invece mediante il procedimento di separazione delle variabili, che ci consente di sviluppare in forma compendiaria un ragionamento alquanto complesso.

    Poiché la funzione risolutiva della 4.1 sarà del tipo: 

    s = s(t, x) 

    poniamo:

    s(t, x) = T(t)·X(x) 

 Quindi, sostituendo nella 4.1:

Infine, separando le variabili:

    Poiché X e T sono due funzioni indipendenti l’una dall’altra, i due membri della (4.3) equivalgono a una costante, che chiameremo “– k^2”. Otteniamo così due equazioni differenziali ordinarie, a una sola variabile:

    ovvero:

    Per integrare la 4.4.1, scriviamone l’equazione caratteristica associata, sostituiamo cioè: al posto della derivata seconda, a²; al posto della derivata prima (che peraltro qui non c’è), a; al posto della variabile, 1. Otteniamo allora:

a² + k² = 0

    Di qui ricaviamo: