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Fisica Acustica
AREA I - ARTE TECNICO-SCIENTIFICA (ATS)
Cap. ATS-E01 - Fisica - Pag. ATS-E01.03
Gli argomenti trattati sono stati inseriti da Ing. Arch. Michele Cuzzoni nel 2008 - © Copyright 2007- 2024 - e sono desunti dalla documentazione indicata in Bibliografia a fondo pagina
Si voglia determinare la velocità del suono nei solidi, nell’ipotesi che le onde siano trasversali. Per circoscrivere il fenomeno, consideriamo un prisma allungato, assumendo queste due ipotesi:
1) Le onde sonore (onde elastiche) si manifestano come un treno di vibrazioni trasversali, in direzione cioè ortogonale a quella di propagazione. Conseguentemente, il materiale costituente il prisma è soggetto soltanto a sollecitazioni di taglio (dette anche tangenziali). In particolare, studiamo la propagazione dell’onda lungo la direzione x del prisma (si veda la figura qui sotto). Chiamiamo s (elongazione) l’entità dello spostamento di un punto del materiale, associato alle vibrazioni trasversali.
2) Il comportamento del materiale è elastico e, per quanto riguarda le sollecitazioni trasversali, è definito dal modulo di elasticità a tensione tangenziale G (detto anche modulo di elasticità tangenziale).
Ciò premesso, tenendo conto dell’ipotesi a), isoliamo – in seno al materiale che costituisce il prisma – le molecole contenute in un volumetto dV = dx·dy·dz. Nell’immagine qui sotto la faccia verticale sinistra del cubetto di lato dx, dy e dz si trova a distanza x dall’origine, mentre quella destra si trova alla distanza x + dx. L’asse x coincide con l’asse del prisma, la sua origine è in un punto qualsiasi.
Quando il prisma è investito da un’onda elastica trasversale, il volumetto dV è assoggettato a due forze: t·(dydz), sulla faccia di ascissa x, e (t + dt)·dxdz, sulla faccia di ascissa x + dx. L'immagine qui sotto presenta il volumetto dV ingrandito.
Tenendo conto delle convenzioni di segno si ha:
che possiamo anche scrivere:
Questa è la risultante delle forze agenti sul volumetto dV, che sarà equilibrata dalle forze d’inerzia. Dobbiamo quindi considerare il moto di vibrazione delle molecole interne al volumetto dV e, in particolare, la loro accelerazione.
A causa dell’onda elastica da cui è investito, il volumetto dV subisce una deformazione e, a rigore, la cosiddetta elongazione delle molecole giacenti sulla sezione x, cioè il loro movimento alternativo, lungo la direzione dell’asse z, intorno alla posizione di equilibrio, è diversa da quella delle molecole giacenti sulla sezione x + dx (e di quelle intermedie). Per dx tendente a zero possiamo però assumere che tutte le molecole del volumetto dV si muovano solidalmente (ciò equivale a trascurare gli infinitesimi di ordine superiore).
Scriviamo a questo punto l’equazione di equilibrio per il generico volumetto dV per arrivare, se possibile, a un’equazione del tipo:
che ci dica qual è la posizione di una generica molecola costituente il prisma, in funzione della sua posizione di riposo x (in assenza di perturbazione sonora) e del tempo t.
L’equazione generica
(dove le grandezze in grassetto sono vettoriali) proiettata sull’asse della propagazione del suono fornisce:
dove r è la densità del materiale. Si ha allora:
Le variabili che compaiono in questa equazione sono t, x, s e t. Per formulare un’equazione come la (2.1) cerchiamo una relazione tra t ed s, che ci consenta di sostituire nella (2.2) lo sforzo di taglio t con una sua espressione in funzione di s.
Introduciamo a questo punto l’ipotesi b), quella di comportamento elastico.
Quindi applichiamo la ben nota relazione di deformabilità per uno stato tensionale trasversale:
dove t, al solito, è lo sforzo di taglio, G è il modulo di elasticità tangenziale e f è l’angolo di scorrimento del materiale. Applichiamo questa definizione generale al nostro volumetto: osserviamo che f è definito dal rapporto ds/dx (si veda la figura accanto o – meglio – l’ingrandimento del volumetto che abbiamo mostrato sopra), quindi, sostituendo ds/dx a f nella (2.3) e tenendo conto delle convenzioni di segno, abbiamo:
o anche, considerato che s è funzione sia di x, sia di t (vedi la 2.1):
Abbiamo così ricavato una relazione tra t ed s, che ci consenta di sostituire nella (2.2) lo sforzo di taglio t con una sua espressione in funzione di s. Derivando t rispetto a x otteniamo:
Confrontando la (2.4) con la 2.2) si ha:
Cioè:
Questa, in generale, è la cosiddetta equazione d’onda: l’equazione differenziale, cioè, che descrive il passaggio di una perturbazione ondosa (trasversale, in questo caso) in un dato mezzo caratterizzato da densità r e modulo di elasticità tangenziale G.
Il significato di r/G è chiarito dall’analisi dimensionale. Indicando genericamente con l una lunghezza e con t un tempo, si ha:
Dunque:
Cioè:
Dunque r/G ha le dimensioni dell’inverso di una velocità. In effetti, si dimostra (con considerazioni che qui omettiamo) che la velocità di propagazione del suono è:
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Bib-TS-067 - Ing. Arch. Michele Cuzzoni - Appunti di Fisica 2: Acustica – Facoltà di Ingegneria, Pavia - A.A. 1995-1996
Bib-TS-068 - Il Nuovo Colombo - Manuale dell'Ingegnere - Volume primo - 83^ edizione - Ed. Ulrico Hoepli Milano - 1997 Ristampa 2001