AREA I - ARTE TECNICO SCIENTIFICA (ATS)
Capitolo ATS.J01: "Principi Generali di Analisi Acustica" - Pagina 04

Gli argomenti di questa pagina sono stati inseriti da Ing. Michele Cuzzoni nel 2012, aggiornati il 21/04/2016, e sono desunti dalla Bibliografia riportata a fondo pagina.

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Analisi in frequenza: Forza armonica semplice

 

 

 

INDICE:

 

 

Definizione

 

Si definisce armonica semplice una forza f(t) che possiede legge armonica e ampiezza unitaria.

Questa condizione è soddisfatta dalle espressioni reali f(t) = sin wt o f(t) = cos wt e dall’espressione complessa f(t) = eiwt.

 

Osservazione: La funzione armonica sin ωt può essere considerata la proiezione sull’asse y delle ordinate di un vettore Z di modulo unitario, ruotante intorno all’origine di un sistema di riferimento cartesiano (x, y) con velocità angolare costante ω e fase iniziale nulla. Ragionamento analogo può essere fatto per la funzione armonica cos ωt relativamente alla proiezione sull’asse x delle ascisse.

 

Interpretando il piano (x, y) come piano di Argand-Gauss, al vettore Z viene associato un valore complesso z le cui parti reale e immaginaria sono rispettivamente le proiezioni su x e su y di Z : z=x + iy, x = Re(z) = cos ωt, y = Im(z) = sin ωt, e pertanto z = cos ωt + i sin ωt.

Applicando la formula di Eulero z = eiwt.

 

Si prenda in esame l’equazione del moto:

(01)

 

Poiché f(t) è una grandezza complessa, anche q(t) è una grandezza complessa. Si pone:

 

q(t) = x(t) + i y(t)

 

nella quale le funzioni reali x(t) = Re[q(t)], y(t) = Im[q(t)] sono rispettivamente le soluzioni dei due seguenti problemi:

(02)

(03)

Si constata che la risposta y(t) alla forza armonica semplice reale f(t) = sin ωt è la parte immaginaria della risposta q(t) alla forza armonica semplice complessa f(t) = eiwt.

La soluzione della (01) è data dalla somma dell’integrale q' (t)  dell’omogenea associata e di un qualsiasi integrale particolare q'' (t) della completa:

q (t) = q' (t) + q'' (t).

Dalle precedenti si ricava:

q' (t) = x' (t) + i y' (t)        x (t) = x' (t) + x'' (t)

q'' (t) = x'' (t) + i y'' (t)     y (t) = y' (t) + y'' (t)

dove x' (t) e y' (t) e sono gli integrali delle omogenee associate alla (02) e alla (03):

Le costanti di integrazione sono associate alle condizioni iniziali.

INDICE

 

Funzione di Risposta Complessa in Frequenza

Si dimostra che un integrale particolare q'' (t) della (01) è:

(04)

 

Sostituendo infatti la (04) nella (01) risulta:

(05)

H(ω) è definita funzione di risposta complessa in frequenza.

La grandezza complessa H(ω) può essere riscritta nelle forme:

(06)

 

(07)

 

nelle quali:

(08)

 

  (09)

 

  (10)

  (11)

 

 

In ipotesi di vibrazioni a regime q' (t) = 0 Þ q (t) = q'' (t) Þ q (t) = H(ω) eiω t (12).

La (12) esprime la risposta a regime di un sistema sottoposto a una forza armonica semplice complessa f(t) = eiω t. Rivela inoltre il significato fondamentale della funzione H(ω): in condizioni di vibrazioni a regime, per forza armonica semplice, è il rapporto fra la risposta e l’eccitazione.

Sostituendo la (07) nella (12) si ottiene:

(13)

 

Se ne deduce che | H(ω) | è l’ampiezza del moto vibratorio ψ (ω) è il ritardo di fase della risposta q(t) rispetto all’eccitazione f(t) = eiω t.

f(t) = eiω t Þ

 

per ω = 0

 

INDICE

 

Fattore di magnificazione

 

 

Si definisce fattore di magnificazione  N(ω) il rapporto fra l’ampiezza | H (ω) |  della risposta dinamica e l’ampiezza H(0) della risposta statica:

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

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Riepilogando

 

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Esempio: Torre - Faro

 

INDICE

 

Esempio: Copertura in cemento armato

 

 

INDICE

 


Bibliografia


 
Bib-TS-067 - Ing. Michele Cuzzoni - Appunti di Fisica 2: Acustica – Facoltà di Ingegneria, Pavia - A.A. 1995-1996
Bib-TS-068 - Il Nuovo Colombo - Manuale dell'Ingegnere - Volume primo - 83^ edizione - Ed. Ulrico Hoepli Milano - 1997 Ristampa 2001
 

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