AREA I - ARTE TECNICO SCIENTIFICA (ATS)
Capitolo ATS.J01: "Principi Generali di Analisi Acustica" - Pagina 01

Gli argomenti di questa pagina sono stati inseriti da Ing. Michele Cuzzoni nel 2009, aggiornati il 21/04/2016, e sono desunti dalla Bibliografia riportata a fondo pagina.

Voi siete il gradito visitatore n.° :

 

 

Privacy Policy

 

 

Il Teorema di Fourier

 

 

INDICE:

 

Teorema di Fourier

 

Il teorema di Fourier afferma che un qualsiasi segnale periodico, sotto alcune condizioni matematiche (sempre verificate per i segnali fisici), può essere ottenuto mediante la somma di un termine costante e di infinite funzioni sinusoidali, le cui frequenze sono multipli interi di quella del segnale (ovvero le cui pulsazioni sono multipli interi di quella del segnale).

Indicando con w0 = 2πf0 la pulsazione di un segnale periodico v(t) a frequenza f0, il teorema ha la seguente espressione matematica, definita sviluppo in serie di Fourier:

 

 

Nell’espressione 1, w0 è la pulsazione del segnale periodico v(t), e t è, ovviamente, la variabile tempo; rimangono dunque da determinare, nei casi concreti, il valore del termine costante A0, nonché i valori dell’ampiezza An e della fase iniziale fn di ciascuna delle funzioni sinusoidali presenti nella serie. Tali valori sono diversi da caso a caso, dipendendo dal particolare andamento del segnale v(t) considerato.

Il teorema di Fourier, che può essere esteso con le opportune modifiche anche ai segnali non periodici, può essere visto da due angolazioni diverse.

Da un lato esso afferma che qualsiasi segnale, al fine della determinazione del suo comportamento, può essere visto come la somma delle sue componenti armoniche (analisi di Fourier); dall’altro lato, lo stesso teorema afferma che sommando un termine costante e termini sinusoidali di opportuna frequenza, ampiezza e fase iniziale, è possibile ottenere qualsiasi segnale, entro i limiti matematici della validità del teorema stesso (sintesi di Fourier).

 

La sinusoide con la stessa frequenza della funzione è detta fondamentale, le sinusoidi di frequenza multipla della fondamentale, armoniche. L'ampiezza delle armoniche è decrescente e tendente a zero con il crescere della frequenza. La successione delle ampiezze è denominata spettro.

 

 

 

 

Ponendo

 

 

 

si può anche considerare

 

 

come termine che rappresenta l'armonica di ordine m.

Le formule precedenti forniscono ampiezza e fase di ogni armonica, nota che sia l'espressione matematica della funzione periodica. E' comunque possibile, se di y(t) si conosce il solo grafico, ricavare i coefficienti con un procedimento grafico, o facendo opportunamente uso di un foglio elettronico.

E' interessante osservare quali conseguenze hanno sui coefficienti funzioni periodiche dotate di particolari simmetrie:

 

INDICE

 

 

Analisi di Fourier

 

Qualsiasi segnale periodico (cioè che si ripete identicamente nel tempo ad ogni periodo P ), è scomponibile in una serie di sinusoidi e cosinusoidi di frequenze multiple di 1/P. Per illustrare il procedimento di scomposizione, si consideri il caso di una forma d'onda definita in N=8 punti equidistanti nel suo periodo.

Ponendo tale periodo P=2p [1], l'intervallo di campionamento risulta DT=P/N=p/4.

Supponendo che la forma d'onda considerata possa essere espressa come somma di 2 sinusoidi (una di ampiezza A1 e di periodo 2p [2] , l'altra di ampiezza A2 e di periodo p), di 2 cosinusoidi (una di ampiezza B1 e di periodo 2p, l'altra di ampiezza B2 e di periodo p ), ed infine di una componente continua C, si può scrivere il seguente sistema di equazioni (dove yn è il valore del segnale al tempo n· DT e l'argomento delle sinusoidi e cosinusoidi è w·n· DT) :

 

 

Si hanno quindi 8 equazioni e 5 incognite, cioè i coefficienti A1 A2 B1 B2 e C che definiscono le ampiezze delle singole armoniche. Per risolvere tale sistema si osserva che la somma dei valori di seno e coseno per ciascuna colonna dà valore zero (la media di una sinusoide o di una cosinusoide sul periodo o suoi multipli è infatti sempre zero). Risulta quindi che la somma degli yn è uguale a 8 volte C.

Per ricavare gli altri coefficienti si ricorre all'artificio di moltiplicare ogni riga per il termine moltiplicatore del coefficiente.

Ad esempio per ricavare A1 si moltiplicano i termini della prima equazione per sen(p /4), quelli della seconda per sen(2p /4), e così via.

Sommando ancora per colonne si ottiene che tutte le colonne , eccetto quella delle y e quella degli A1 , risultano uguali a zero. Nella colonna degli A1 la somma dei sen2 dà come risultato 4, ed in generale N/2.

Il calcolo di questi coefficienti è noto nella letteratura tecnica come DFT (Discrete Fourier Transform) e costituisce appunto l'analisi delle forme d'onda periodiche campionate in N punti, detta anche analisi di Fourier.

 

In questa analisi si evidenziano alcune caratteristiche:

Per questi motivi l'esempio dato risulta composto da sole sinusoidi. Se invece la forma d'onda presenta una simmetria speculare, sempre rispetto alla mezzeria verticale, risultano nulli i coefficienti A dei seni. L'esempio rappresenta una forma d'onda composta da una costante (C), da due sinusoidi (fondamentale e seconda armonica di ampiezza rispettivamente A1 e A2) e da due cosinusoidi (di ampiezza rispettivamente B1 e B2).

 

Fig. 01 - Esempio di scomposizione di una forma d'onda periodica in somma di sinusoidi e cosinusoidi.

 

Nella figura 1 sono anche rappresentati gli andamenti delle singole componenti in funzione del tempo.

Una rappresentazione vettoriale di questa forma d'onda è data dalla figura seguente 2.

Il segnale al tempo t = 0 è la proiezione verticale della somma dei vettori (quindi C + B1 + B2).

Il vettore C è costante, mentre i vettori A1 e B1 (e quindi la loro risultante) ruotano in senso antiorario alla velocità w, formando angoli wt rispetto alla condizione iniziale in figura. Così i vettori A2 e B2 e la loro risultante ruotano, sempre in senso antiorario, alla velocità 2w.

In definitiva, il segnale al tempo t è sempre la proiezione verticale delle risultanti dalla somma dei vettori ruotanti a velocità multiple di w.

Fig. 2 - Interpretazione vettoriale del segnale di figura precedente al tempo t = 0

 

Chiarito il significato dei coefficienti, appare evidente che aumentando il numero delle armoniche considerate (quindi il numero dei coefficienti, cioè K), migliora sempre più la possibilità di ricostruzione del segnale originario. Questo è infatti il risultato delle sommatorie dei coefficienti per le rispettive funzioni di seno e coseno alle varie armoniche.

Bisogna tuttavia aver presente che K a sua volta è limitato dal numero di campionamenti effettuati sul segnale, quindi vi è da rimarcare che per un segnale qualsiasi (non somma di sole alcune armoniche considerate) la possibilità di ricostruzione del segnale originario è sempre approssimata.

Come esempio di analisi e ricostruzione di un segnale periodico qualsiasi, si può considerare il caso illustrato in figura seguente 3, dove viene esaminato una semionda di sinusoide parzializzata (tipico caso di un raddrizzatore a diodi controllati).

Fig. 3 - Esempio di analisi e ricostruzione di una forma d'onda periodica (programma in Mathcad)

 

 

Fig. 4 - Programma come nella figura precedente, ma con un segnale a semionda parzializzata

 


[1] Ciò equivale a porre la velocità angolare w = 1, cioè a svincolarsi dal tempo effettivo ed a considerare quindi gli intervalli di tempo equivalenti a misure angolari(radianti). Si ha infatti che P=2p/w per cui l'w effettivo è =2p/P, e la scala dei tempi dovrà poi tener conto di questo valore.

[2] Per quanto detto nella nota 1) la w di questa è uguale ad 1 e la sinusoide si definisce fondamentale avendo il periodo uguale a quello del segnale. La successiva ha un periodo dimezzato, quindi w=2, e si definisce seconda armonica.

INDICE

 

 


Bibliografia


 
Bib-TS-067 - Ing. Michele Cuzzoni - Appunti di Fisica 2: Acustica – Facoltà di Ingegneria, Pavia - A.A. 1995-1996
Bib-TS-068 - Il Nuovo Colombo - Manuale dell'Ingegnere - Volume primo - 83^ edizione - Ed. Ulrico Hoepli Milano - 1997 Ristampa 2001
 

TOP