AREA I - ARTE TECNICO SCIENTIFICA (ATS)
Capitolo ATS.E03: "Teoria Musicale" - Pagina 14

Gli argomenti di questa pagina sono stati inseriti da Ing. Michele Cuzzoni nel 2009, aggiornati il 21/04/2016, e sono desunti dalla Bibliografia riportata a fondo pagina.

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Costruzione di una scala pitagorica

 

 

INDICE:

 

 

COSTRUZIONE DI SCALA PITAGORICA

  1. Il meccanismo generativo della scala pitagorica è molto semplice: essa si può ottenere partendo da due soli rapporti fondamentali: 2:1, che rappresenta l'intervallo di ottava, e 3:2 che rappresenta l'intervallo di quinta giusta (ascendente e discendente). A volte alcuni inseriscono nel meccanismo generativo anche l'intervallo di quarta giusta: in questa pagina preferiamo considerare l'intervallo di quarta giusta come una quinta discendente.

  2. Si sceglie una nota di riferimento, per esempio Do e si iniziano a generare intervalli di quinta ascendenti.

  3. Dal punto di vista matematico ciò equivale a moltiplicare ripetutamente la frequenza di partenza per 3/2. Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la frequenza così ottenuta per 2n dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Ad esempio partendo dalla nota Do otteniamo

regola generativa (ascendente)

...

...

rapporto tra le frequenze

1:1

3:2

9:8

27:16

81:64

243:128

729:512

...

nota

Do

Sol

Re

La

Mi

Si

Fa #

...

intervallo

...

V

II M

VI M

III M

VII M

IV+

...

 

Possiamo generare nuove note anche tramite intervalli di quinta discendenti. Dal punto di vista matematico ciò equivale a dividere ripetutamente la frequenza di partenza per 3/2 (cioè a moltiplicare per 2/3). Per riportare l'insieme di note così ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si moltiplica la frequenza così ottenuta per 2n dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Ad esempio partendo dalla nota DO otteniamo:

 

regola generativa (discendente)

...

...

rapporto tra le frequenze

1:1

4:3

16:9

32:27

128:64

256:243

1024:729

...

nota

Do

Fa

Si b

Mi b

La b

Re b

Sol b

...

intervallo

Unisono

IV

VII m

III m

VI m

II m

V-

...

 

Unendo i due cicli di quinte ascendenti e discendenti possiamo ottenere infiniti intervalli. Tuttavia la scala ha senso solo se ne contiene un numero finito, perché altrimenti il nostro orecchio non sarebbe in grado di distinguerli tutti. Il punto è: dove ci dobbiamo fermare?

 

rapporto

...

1024:729

256:243

128:81

32:27

16:9

4:3

1:1

3:2

9:8

27:16

81:64

243:128

729:512

2187:2048

6561:4096

...

nota

...

Sol♭

Re♭

La♭

Mi♭

Si♭

Fa

Do

Sol

Re

La

Mi

Si

Fa♯

Do♯

Sol♯

...

intervallo

...

V-

IIm

VIm

IIIm

VIIm

IV

Unisono

V

IIM

VIM

IIIM

VIIM

IV+

I+

V+

...

 

INDICE

 

 

La scala diatonica pitagorica

 

La soluzione per la costruzione della scala consiste ovviamente nel troncare il circolo ad un certo punto. La scelta delle note da scegliere può apparire assolutamente convenzionale ma in realtà essa deve soddisfare precisi esigenze di carattere estetico (consonanza) e di facilità di intonazione (uniformità dei gradi consecutivi della scala).

Una possibile scelta consiste nel considerare solo le 7 note centrali dell'ultima tabella (da Fa a Si). Tale scelta conduce alla scala diatonica.

 

Scala diatonica pitagorica
nota rapporto frequenza (Hz) cent

Do

1:1

261.6256

0.000

Re

9:8

294.3288

203.910

Mi

81:64

331.1199

407.820

Fa

4:3

348.8341

498.045

Sol

3:2

392.4383

701.955

La

27:16

441.4931

905.865

Si

243:128

496.6798

1109.775

Do

2:1

523.2511

1200.000

 

 

Vantaggi

  1. È immediato rendersi conto, dalla tabella superiore, che tale scala contiene solo due tipi di intervalli tra i gradi consecutivi della scala. Essi sono il tono pitagorico (es. Re-Mi pari 203.91 cent) e il semitono pitagorico, o limma, (es. Mi-Fa pari a 90.225 cent)

  2. Tutti gli intervalli di ottava e quinta contenuti nella scala (ad esempio la quinta Si-Fa# non è presente perché richiede una nota alterata) sono perfettamente consonanti perché coincidono con i rapporti semplici 3:2 e 2:1 della scala naturale. Ciò non deve sorprendere essendo l'intervallo di quinta il "seme" con cui è stata generata l'intera scala.

  3. A seconda della nota di partenza (avremmo potuto, ad esempio, iniziare e terminare la scala dalla nota Fa) cambia la posizione, all'interno della scala, dei semitoni pitagorici conferendo alla scala un diverso "sapore". Pur utilizzando sette sole note i greci avevano già intuito le possibilità espressive fornite dalla "traslazione" del punto di partenza della scala, sviluppando una teoria dei "modi" musicali.

 

A dire il vero più che ragionare in termini di traslazione, la teoria musicale dei pitagorici poneva a fondamento dei vari modi il tetracordo (tetraktys): un modo era costituito da due tetracordi discendenti consecutivi.

Spesso i tetracordi erano anche omologhi, cioè con la stessa successione di toni e semitoni. Ad esempio il modo la cui scala inizia dal Do era generato dai due tetracordi Do-Si-La-Sol e Fa-Mi-Re-Do in cui la successione tra toni (T) e semitoni (S) è del tipo S-T-T-T. La denominazione di tali modi derivava dalle regioni dell'antica Grecia nei quali essi avevano avuto origine.

 

Modi della musica greca

Denominazione

I° tetracordo

II° tetracordo

nota iniziale

Ionico

Do-Si-La-Sol

Do

Dorico

Re-Do-Si-La

SoL-Fa-Mi-Re

Re

Frigio

Mi-Re-Do-Si

La-Sol-Fa-Mi

Mi

Lidio

Fa-Mi-Re-Do

Si-La-Sol-Fa

Fa

Missolidio

SoL-Fa-Mi-Re

Do-Si-LA-Sol

Sol

Eolio

La-Sol-Fa-Mi

Re-Do-Si-La

La

Locrio

Si-LA-Sol-Fa

Mi-Re-Do-Si

Si

 

 

INDICE

 

Svantaggi

  1. gli intervalli di terza e sesta non sono consonanti. Inoltre essi sono espressi da rapporti "scomodi" che coinvolgono numeri piuttosto grandi. Se, ragionando pitagoricamente, il criterio della consonanza è quello dei "rapporti semplici" tali intervalli suonano dissonanti. In effetti nella pratica musicale, anche per l'avvento della polifonia, si è andato affermando, per la sua maggiore consonanza, un intervallo di terza definito da un rapporto molto più semplice (5:4). Tale scelta ci insegna che i "musicisti" affidano al proprio orecchio la scelta degli intervalli consonanti. La scelta di terze maggiormente consonanti condusse alla scala naturale.

  2. come per ogni scala diatonica, il limitato numero di note offre una limitata gamma di possibilità melodiche

INDICE

 

 

La scala cromatica pitagorica

 

Quest'ultimo svantaggio può essere superato aumentando il numero di note facenti parte della scala. Ovviamente le nuove note immesse, che arricchiscono di molto le possibilità melodiche, non devono compromettere i vantaggi della scala diatonica. Esse devono

  1. continuare a garantire la consonanza degli intervalli di ottava e di quinta;

  2. rendere il più possibili uniformi i gradi consecutivi della scala;

  3. essere in numero non eccessivo in modo da non avere frequenze troppo ravvicinate

Una possibile soluzione di compromesso si ottiene considerando le 12 note centrali (dal Mi♭ al Sol#) elencate sopra. In altre parole si includono nella scala il

Si ottiene allora la scala seguente:

 

Scala cromatica pitagorica

nota

rapporto

frequenza (Hz)

cent

Do

1:1

261.6256

0.000

Do♯

2187:2048

279.3824

113.685

Re

9:8

294.3288

203.910

Mib

32:27

310.0747

294.135

Mi

81:64

331.1199

407.820

Fa

4:3

348.8341

498.045

Fa♯

729:512

372.5098

611.730

Sol

3:2

392.4383

701.955

Sol♯

6561:4096

419.0736

815.640

La

27:16

441.4931

905.865

Sib

16:9

465.1121

996.090

Si

243:128

496.6798

1109.775

Do

2:1

523.2511

1200.000

 

Si osservi che, se, oltre a tutte le note alterate avessimo anche le alternative (enarmoniche) la scala avrebbe 17 gradi, anziché 12 di cui cinque che differiscono solo per il comma pitagorico di 23.46 cent.

 

INDICE

 

Vantaggi

 

  1. La scelta fatta conserva la consonanza degli intervalli di ottava e di quinta: tutte le quinte nella stessa scala sono intonate (tranne una, vedi tra gli svantaggi);

  2. i gradi consecutivi della scala sono sufficientemente uniformi: tale uniformità è stata ottenuta inserendo le note alterate quasi a metà del tono pitagorico. Esistono, nella scala cromatica, solo due intervalli. Essi sono il limma, e l'apotome (es. Do e Do#) (vedi tabella) la cui somma dà, ovviamente, il "tono pitagorico" e la cui differenza dà il comma pitagorico.

  3. le frequenze tra due gradi consecutivi non sono troppo ravvicinate: malgrado l'aumentato numero di note, l'intervallo di minima ampiezza è ancora il limma.

 

intervalli tra i gradi della scala pitagorica cromatica

intervallo

rapporto

cents

limma

256:243

90.225

apotome

2187:2048

113.685

tono pitagorico

9:8

203.910

 

INDICE

 

Svantaggi

 

  1. la quinta Sol♯-Mi♭ è stonata (la quinta intonata sarebbe Sol♯-Re♯, ma il Re♯, come abbiamo detto, è stato escluso dalla scala);

  2. la mancata consonanza della quinta Sol♯-Mi&#9837 nella scala pitagorica di Do è solo un aspetto di un problema più generale: il problema del cambiamento di tonalità. Se uno strumento è accordato secondo la scala pitagorica per suonare in una certa tonalità (ad es. DO), esso potrà essere scordato quando suonerà con la stessa scala in un'altra tonalità "lontana" dalla precedente;

  3. gli intervalli di sesta e di terza continuano ad essere poco consonanti.

 

INDICE

 

Scala pitagorica e consonanza

 

La mancata consonanza degli intervalli di terza e di sesta rappresenta un problema non solo nella corretta intonazione di tali intervalli ma può causare fastidiosi battimenti nell'esecuzione simultanea di bicordi (es Do-Mi) soprattutto in presenza di strumenti ricchi di armonici di ordine superiore. Ad esempio il quinto armonico naturale del Do viene a trovarsi molto vicino in frequenza al quarto armonico del Mi pitagorico. Per esempio:

Probabilmente stiamo sopravvalutando il ruolo della dissonanza degli intervalli di terza e sesta nella musica greca antica; ciò per due ordini di motivi:

INDICE


Bibliografia


 

Bib-TS-069 - Il documento è tratto dal sito fonte originario: http://fisicaondemusica.unimore.it

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