1. Il meccanismo generativo della scala pitagorica è molto semplice: essa si può ottenere partendo da due soli rapporti fondamentali: 2:1, che rappresenta l'intervallo di ottava, e 3:2 che rappresenta l'intervallo di quinta giusta (ascendente e discendente). A volte alcuni inseriscono nel meccanismo generativo anche l'intervallo di quarta giusta: in questa pagina preferiamo considerare l'intervallo di quarta giusta come una quinta discendente.

2. Si sceglie una nota di riferimento, per esempio Do e si iniziano a generare intervalli di quinta ascendenti.

3. Dal punto di vista matematico ciò equivale a moltiplicare ripetutamente la frequenza di partenza per 3/2. Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si divide la frequenza così ottenuta per 2ⁿ dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Ad esempio partendo dalla nota Do otteniamo

Possiamo generare nuove note anche tramite intervalli di quinta discendenti. Dal punto di vista matematico ciò equivale a dividere ripetutamente la frequenza di partenza per 3/2 (cioè a moltiplicare per 2/3). Per riportare l'insieme di note così ottenuto nell'ambito dell'ottava di partenza si moltiplica la frequenza così ottenuta per 2ⁿ dove n è il numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a quella di arrivo. Ad esempio partendo dalla nota DO otteniamo:

Unendo i due cicli di quinte ascendenti e discendenti possiamo ottenere infiniti intervalli. Tuttavia la scala ha senso solo se ne contiene un numero finito, perché altrimenti il nostro orecchio non sarebbe in grado di distinguerli tutti. Il punto è: dove ci dobbiamo fermare?

• Cosa succede se continuiamo a moltiplicare la successione delle frequenze per 3/2, o 2/3? Ad un certo punto torneremo sulle stesse note come se stessimo percorrendo un circolo (i musicisti staranno certamente pensando al circolo delle quinte) o il meccanismo generativo produce sempre nuove note? La risposta è che il cosiddetto circolo delle quinte, nella scala pitagorica non si chiude. Esso è in realtà una elicoide delle quinte. Potenzialmente il meccanismo generativo illustrato è in grado di dividere l'ottava in un numero infinito di parti, rendendo gli intervalli tra due note sempre più piccoli, addirittura al di là della soglia di discriminazione delle frequenze del nostro orecchio.

• Il motivo della mancata "chiusura del cerchio" è semplice: un cerchio si chiude se si ritorna al punto di partenza. Perché ciò accada, il meccanismo generativo dovrebbe consentirci di produrre una nota la cui frequenza ha un rapporto con quella iniziale di 2ⁿ (a questo punto basterebbe, per tornare al punto di partenza, dividere la frequenza per 2ⁿ!). Ma in realtà non c'è modo di scegliere n intero in modo da rendere (3:2)ⁿ uguale a 2ⁿ.

• Si osservi che la mancata chiusura del circolo fa sì che le note Do♯ (rapporto 2187:2048) e Re♭ (rapporto 256:243) non coincidano come invece accade nelle moderne scale basate sul temperamento equabile nelle quali sono considerate suoni omofoni (o enarmonici), cioè suoni di nome diverso ma della medesima intonazione. Nella scala pitagorica esse differiscono per soli 23.46 cents: tale differenza rappresenta il cosiddetto comma pitagorico, circa un quarto di semitono temperato). Se nel nostro sistema musicale decidessimo di includere il Do♯ come nota distinta da Re♭ dovremmo, ad esempio, sdoppiare il tasto nero del pianoforte. Nel moderno temperamento equabile invece Re♭ e Do♯ coincidono, e i tasti neri si usano in modo equivalente per le alterazioni diesis ♯ e bemolle ♭.

1. La scelta fatta conserva la consonanza degli intervalli di ottava e di quinta: tutte le quinte nella stessa scala sono intonate (tranne una, vedi tra gli svantaggi);

2. i gradi consecutivi della scala sono sufficientemente uniformi: tale uniformità è stata ottenuta inserendo le note alterate quasi a metà del tono pitagorico. Esistono, nella scala cromatica, solo due intervalli. Essi sono il limma, e l'apotome (es. Do e Do#) (vedi tabella) la cui somma dà, ovviamente, il "tono pitagorico" e la cui differenza dà il comma pitagorico.

3. le frequenze tra due gradi consecutivi non sono troppo ravvicinate: malgrado l'aumentato numero di note, l'intervallo di minima ampiezza è ancora il limma.

1. la quinta Sol♯-Mi♭ è stonata (la quinta intonata sarebbe Sol♯-Re♯, ma il Re♯, come abbiamo detto, è stato escluso dalla scala);

2. la mancata consonanza della quinta Sol♯-Mi♭ nella scala pitagorica di Do è solo un aspetto di un problema più generale: il problema del cambiamento di tonalità. Se uno strumento è accordato secondo la scala pitagorica per suonare in una certa tonalità (ad es. DO), esso potrà essere scordato quando suonerà con la stessa scala in un'altra tonalità "lontana" dalla precedente;

3. gli intervalli di sesta e di terza continuano ad essere poco consonanti.