AREA I - ARTE TECNICO SCIENTIFICA (ATS)
Capitolo ATS.E01: "Fisica Acustica" - Pagina 07

Gli argomenti di questa pagina sono stati inseriti da Ing. Michele Cuzzoni nel 2009, aggiornati il 21/04/2016, e sono desunti dalla Bibliografia riportata a fondo pagina.

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Energia nelle onde - Dispersione

 

 

INDICE:

 

Energia nelle onde puramente meccaniche

Quando in un mezzo si propagano onde meccaniche il disturbo è sempre una deformazione locale del mezzo. Le forze di richiamo sono note col nome di forze elastiche, e l'inerzia corrisponde con la massa locale del mezzo, più comunemente chiamata densità.

Una volta che una deformazione si è prodotta, per esempio a causa di una forza esterna, una porzione del mezzo si trova fuori equilibrio, quindi una forza elastica la richiama verso la posizione iniziale. Quando tuttavia la porzione del mezzo si trova di nuovo nella posizione iniziale, essa, a causa della sua inerzia, tenderà a continuare il suo moto, trovandosi presto fuori dall'equilibrio in verso opposto alla deformazione iniziale. Forze elastiche di verso opposto alle prime lo richiameranno di nuovo, e questo intero ciclo si ripete dando luogo ad una oscillazione locale, in grado di trasmettersi agli elementi adiacenti.

In un mezzo continuo la deformazione potrà essere un allungamento, una compressione, ecc.; in un mezzo costituito da tanti componenti discreti  la deformazione sarà invece lo spostamento di ogni oscillatore dalla sua posizione di equilibrio.

Esistono le forze di richiamo e, simultaneamente, gli spostamenti dall'equilibrio, che sono in grado di produrre un lavoro, quantificabile nel prodotto della componente delle forze nella direzione dello spostamento per lo spostamento stesso.

Ma in fisica la capacità di produrre lavoro si chiama energia.

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La corda elastica

Se immaginiamo una corda percorsa da un'onda trasversale possiamo distinguere due tipi di energia:

  1. l'energia cinetica che è l'energia che ogni porzione della corda possiede a causa della propria velocità trasversale di oscillazione.

  2. l'energia potenziale, che è l'energia dovuta alla deformazione elastica della corda.

Ma attenzione: la corda non è un punto materiale, bensì un corpo continuo. Ciò significa che queste due energie non sono concentrate in un punto preciso, ma sono distribuite lungo tutta la corda.

La grandezza localmente rilevante non è l'energia totale, ma l'energia per unità di lunghezza, o densità di energia. A differenza dell'energia totale, che si conserva invariata durante tutto il moto, la densità di energia può variare localmente col tempo. Essa può trasferirsi da un punto all'altro della corda. Anzi, precisamente questa quantità si muove insieme con l'onda che percorre la corda, e alla stessa velocità.

In ogni punto della corda

Per semplificare ulteriormente immaginiamo che la corda oscilli di moto armonico. L'energia totale (cioè la somma della sua energia cinetica e potenziale) di un oscillatore armonico di massa m, che oscilli ad una pulsazione ω con ampiezza A  vale

.

Nel caso della corda, che è un continuo di oscillatori con massa per unità di lunghezza (densità) ρ, non interessa tanto l'energia, ma l'energia per unità di lunghezza (densità di energia). Essa vale

.

La densità viaggia alla velocità c con cui l'onda si propaga lungo la corda. Quindi la grandezza finale  è il prodotto della densità di energia per la velocità

(1)

che ha le dimensioni di una potenza (Watt), e indica esattamente il flusso di energia, cioè la quantità di energia che passa per un certo punto della corda nell'unità di tempo trasportato dall'onda.

Se pensiamo alla grandezza equivalente in una situazione tridimensionale, anziché sulla nostra corda unidimensionale, la grandezza diviene un vettore, e si misura in W/m2. Essa indica la quantità di energia che fluisce attraverso l'unità di superficie in una certa direzione nell'unità di tempo.

Il concetto si applica a tutte le forme di energia, ed è particolarmente adatto a descrivere il fenomeno dell'irraggiamento dell'energia, sia essa luminosa, sonora, ecc. Molto spesso, poiché il flusso di energia è provocato da onde, si usa misurarne la media in un dato periodo di tempo, e la grandezza risultante si dice intensità del campo che produce il flusso. Questa è  la definizione fisica di intensità sonora.

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Collegamento tra energia e impedenza della corda

In molti contesti è utile considerare il concetto di impedenza, ad indicare, nel più semplice dei casi, la costante di proporzionalità tra la forza applicata su una porzione della corda e la velocità trasversale dell'oscillazione così ottenuta.

Il calcolo di questa grandezza, generalmente indicata con la lettera Z  risulta:

.

Si vede subito, quindi, sostituendo nella (1), che il flusso di energia nella corda può essere scritto come

La dispersione è il fenomeno per cui, in un dato mezzo, la velocità di propagazione di un'onda dipende dalla sua lunghezza d'onda. La particolare legge che, di caso in caso, descrive la dipendenza della velocità dalla lunghezza d'onda si chiama legge di dispersione.

La legge di dispersione si può rappresentare in molti modi, perché le onde sono descritte da molte grandezze diverse non tutte indipendenti tra loro. Tipicamente nelle applicazioni si usa indicare la dipendenza della frequenza dalla lunghezza d'onda.

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Come si manifesta la dispersione

Per capire l'essenza di questa proprietà del mezzo osserviamo le animazioni qui sotto:

Si osserva che:

  1. nel mezzo non dispersivo le due componenti colorate avanzano con la stessa velocità. Di conseguenza la loro fase relativa rimane invariata, e, di conseguenza, anche la linea nera (la somma delle componenti) avanza con la stessa velocità senza cambiare forma durante la propagazione;

  2. nel mezzo dispersivo, al contrario, la sinusoide blu avanza più velocemente di quella rossa, e perciò la loro fase relativa cambia nel tempo. Ciò si traduce nel fatto che, col passare del tempo, il segnale somma (linea nera) non compie una semplice traslazione nello spazio, ma cambia completamente forma.

Per evidenziare la velocità della propagazione del segnale in entrambe le animazioni si è segnalato con un punto bianco il massimo dell'onda risultante (se si trattasse di un esempio acustico esso coinciderebbe con il punto in cui il battimento tra le due componenti ha la massima intensità).

sovrapposizione di due onde armoniche di diversa frequenza
mezzo non dispersivo mezzo dispersivo

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Conseguenze e applicazioni

Finora l'unica conseguenza apparente del fenomeno della dispersione sembra essere il fatto che il segnale risultante si propaga nei due casi con due velocità diverse. Di fatto le due velocità sono indicate in fisica con nomi diversi:

Si osservi, nel caso precedente, che la velocità di gruppo è maggiore di entrambi le velocità di fase, ma, utilizzando una differente dispersione (cioè modificando la dipendenza della velocità di fase dalla lunghezza d'onda), è possibile produrre sovrapposizioni in cui la velocità di gruppo è minore o uguale a quella di fase, o anche un battimento stazionario con velocità di gruppo nulla. Nel mezzo non dispersivo, invece, velocità di fase e di gruppo sono sempre uguali.

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Bibliografia


 

Bib-TS-069 - Il documento è tratto dal sito fonte originario: http://fisicaondemusica.unimore.it

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